Lời giải

a có: AH  vuông góc BC suy ra  hình tam giác AHC vuông tại H, hình tam giác AHB vuông tại H

                          => \widehat{C}+\widehat{HAC}=90^o ; \widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o                          Có: AI là phân giác \widehat{BAH}nên \widehat{IAH}= \widehat{IAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAH}=\widehat{C}

[ vì theo giả thiết có \widehat{BAH}=2\widehat{C}BAH=2C]

                           Suy ra \widehat{IAH}+\widehat{HAC}=90^o                            =>\widehat{IAC}=90^o hay \widehat{IAE}=90^o=>\Delta IAE=>ΔIAEvuông tại A [1]

                               Lại có \widehat{AIE}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}A[góc ngoài tại đỉnh I của \Delta ABIΔABI]

                                Mà BE là phân giác \widehat{ABH}\Rightarrow\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABH}ABH

                                Suy ra:  \widehat{AIE}=\frac{1}{2}\left[\widehat{BAH}+\widehat{ABH}\right]=\frac{1}{2}.90^o=45^oA[2]

                               Từ 1 và 2 suy ra \Delta AIE vuông cân tại A

                               Suy ra AE là phân giác ngoài của \Delta ABH tại A,BE là phân giác trong tại B của \Delta ABH

                                => HE là phân giác ngoài tại H của \Delta BAH

                                => HE là phân giác \widehat{AHC}

                                  Vậy ta có điều phải chứng minh

\(\Delta ABC\)có đường cao AH(gt) => Góc AHB = 90 độ

Xét tam giác AHB vuông tại H có

Góc BAH + góc ABh = 90 độ( do góc ABH = 90 độ

=> góc BAI + góc ABI = 45 độ

Có I nằm giữa B và F => Góc AIF là góc ngoài của tam giác BIA

=> góc AIF= góc ABI+ góc IAB= 45 độ (1)

Có góc BAH = 2 (góc C)

=> góc IAH= góc C

Ta lại có : góc FBC + góc IAH =45 độ

=> góc FBC + góc C =45 độ

=> góc AFI= 45 độ ( là góc ngoài của tam giác FBC) (2)

Từ (1) và (2) => tam giác AIF cân tại A(*)

Xét tam giác AIF có

góc AIF+ góc AFI + góc FAI=180 độ

=> góc IAF =90 độ(**)

Từ *) và (**) => tam giác AIFvuông cân tại A

https://olm.vn/hoi-dap/detail/5819899271.html

Xét ΔABC có đường cao AH(gt)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=90^o\)

Xét \(\Delta AHB\perp\)  tại\(H\), có:

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}+\widehat{ABI}=45^o\)

Có I nằm giữa B và F

\(\Rightarrow\widehat{AIF}\) là góc ngoài của\(\Delta BIA\)

\(\Rightarrow\widehat{AIF}=\widehat{ABI}+\widehat{IAB}=45^o\left(1\right)\)

Có \(\widehat{BAH}=2\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\widehat{IAH}=\widehat{C}\)

Ta lại có :\(\widehat{FBC}+\widehat{IAH}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FBC}+\widehat{C}=45^o\)

=> góc AFI= 45 độ ( là góc ngoài của tam giác FBC) (2)

Từ (1) và (2) => tam giác AIF cân tại A(*)

Xét tam giác AIF có

góc AIF+ góc AFI + góc FAI=180 độ

=> góc IAF =90 độ(**)

Từ (*) và (**) => tam giác AIFvuông cân tại A

                        Ta có: AH  vuông góc BC suy ra  hình tam giác AHC vuông tại H, hình tam giác AHB vuông tại H

                          \(=>\) \(\widehat{C}+\widehat{HAC}=90^o\) ; \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\)

                          Có: AI là phân giác \(\widehat{BAH}\)nên \(\widehat{IAH}\)= \(\widehat{IAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAH}=\widehat{C}\)[ vì theo giả thiết có \(\widehat{BAH}=2\widehat{C}\)]

                           Suy ra \(\widehat{IAH}+\widehat{HAC}=90^o\)

                            \(=>\)\(\widehat{IAC}=90^o\)hay \(\widehat{IAE}=90^o=>\Delta IAE\)vuông tại A [1]

                               Lại có \(\widehat{AIE}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}\)[góc ngoài tại đỉnh I của \(\Delta ABI\)]

                                Mà BE là phân giác \(\widehat{ABH}\Rightarrow\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABH}\)

                                Suy ra:  \(\widehat{AIE}=\frac{1}{2}\left[\widehat{BAH}+\widehat{ABH}\right]=\frac{1}{2}.90^o=45^o\)[2]

                               Từ 1 và 2 suy ra \(\Delta AIE\)vuông cân tại A

                               Suy ra AE là phân giác ngoài của \(\Delta ABH\)tại A,BE là phân giác trong tại B của \(\Delta ABH\)

                                => HE là phân giác ngoài tại H của \(\Delta BAH\)

                                => HE là phân giác \(\widehat{AHC}\)

                                  Vậy ta có điều phải chứng minh