a) Xét $\Delta DME$ và $\Delta NMF$ có:

$EM = MF$ ($M$ là trung điểm của $EF$);

$DM = MN$ ($N$ đối xứng với D qua $M$);

$\widehat{EMD} = \widehat{NMF}$ (hai góc đối đỉnh);

Suy ra $\Delta DME$ và $\Delta NMF$ (c.g.c).

Suy ra $DE = NF$

và $DE$ // $NF$ (do hai góc so le trong $\widehat{MED}$ và $\widehat{MFN}$ bằng nhau).

Do đó $DENF$ là hình bình hành, có một góc vuông nên $DENF$ là hình chữ nhật em nhé.

b) Xét tam giác $DEF$ vuông tại $D$ có:

$DE^2 + DF^2 = EF^2$ suy ra $EF = 5$ cm;

Mà $DM = \dfrac12 DN$ và $DN = EF$ nên $DM = 2,5$ cm.

Để chứng minh các phần a, b và c, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và hình chữ nhật.

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí trung tuyến, ta có DE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, DE song song với cạnh AC. Tương tự, ta có DF song song với cạnh AB. Vậy DE//AC và DF//AB.

b. Ta cần chứng minh AEDF là hình chữ nhật. Đầu tiên, ta thấy DE//AC và DF//AB (theo phần a). Khi đó, ta có:

- AD = DC (vì D là trung điểm của BC)

- AE = EB (vì E là trung điểm của AB)

- AF = FC (vì F là trung điểm của AC)

Vậy ta có các cạnh đối diện của tứ giác AEDF bằng nhau, do đó AEDF là hình chữ nhật.

c. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB. Ta cần chứng minh M đối xứng với N qua A. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh AM = AN và góc MAN = góc NAM.

- Vì M là điểm đối xứng của D qua AB, nên ta có AM = AD.

- Vì N là điểm đối xứng của D qua AC, nên ta có AN = AD.

Do đó, ta có AM = AN.

- Ta có góc MAD = góc DAB (vì M là điểm đối xứng của D qua AB)

- Ta có góc NAD = góc DAC (vì N là điểm đối xứng của D qua AC)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc DAB = góc DAC. Từ đó, ta có góc MAD = góc NAD.

Vậy ta có AM = AN và góc MAN = góc NAM, do đó M đối xứng với N qua A.

Vậy ta đã chứng minh được M đối xứng với N qua A.

a: DQ=2,5cm

a/ Xét tứ giác DPMQ có

∠EDF=∠MQD=ˆMPD=90oEDF^=MQD^=MPD^=90o

=> Tứ giác DPMQ là hcn

b/ Để hcn DPMQ là hình vuông thì DM là tia pg ^EDF

c/ Có I đx M qua DE

=> DE là đường t/trực của IM

=> DI = DM (1)

=> t/g DIM cân tại D có DE là đường trung trực

=> DE đồng thời là đường pg

=> ˆIDE=ˆEDMIDE^=EDM^ (2) 

CMTT : DM = DK (3) ; ˆKDF=ˆFDMKDF^=FDM^ (4)

Từ (2) ; (4)

=> ∠IDE+∠EDF+∠KDF=∠IDK=180oIDE^+EDF^+KDF^=IDK^=180o

=> I,D,K thẳng hàng 

Từ (1) ; (3)=> ID = DK

Do đó D là trđ IK

=> I đx K qua D

a: ΔDEF vuông tại D

=>\(DE^2+DF^2+EF^2\)

=>\(EF^2=9^2+12^2=225\)

=>\(EF=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)

Ta có; ΔDEF vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên \(DM=\dfrac{EF}{2}=7,5\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác DNMK có

\(\widehat{DNM}=\widehat{DKM}=\widehat{KDN}=90^0\)

=>DNMK là hình chữ nhật

c: Xét ΔDEF có MN//DF

nên \(\dfrac{MN}{DF}=\dfrac{EM}{EF}\)

=>\(\dfrac{MN}{DF}=\dfrac{1}{2}\)

mà \(MN=\dfrac{1}{2}MH\)

nên MH=DF

Ta có: MN//DF

N\(\in\)MH

Do đó: MH//DF

Xét tứ giác DHMF có

MH//DF

MH=DF

Do đó: DHMF là hình bình hành

=>DM cắt HF tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của DM

nên O là trung điểm của HF

=>H,O,F thẳng hàng

b: Xét tứ giác ABKC có

D là trung điểm của BC

D là trung điểm của AK

Do đó: ABKC là hình bình hành

mà \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABKC là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác ABCE có 

AB//CE

AB=CE
Do đó: ABCE là hình bình hành