gọi d là ƯCLN của 6n+1 và 7n-1

6n+1 chia hết cho d

7 ( 6n+1) chai hết cho d => 42n+7 chia hết cho d

7n-1 chia hết cho d

6 ( 7n -2 ) chia hết cho d suy ra 42n - 6 chai hết cho d

nên (42n+7)- ( 42n-6) chai hết cho d 

13 chia hết cho d

vậy uwcln của 6n+1 và 7n-1 là 13

khó quá bỏ qua

1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.

  Giả sử 
(7n+2,2n+1) =k với k# 3 
=> (7n+2, 3(2n+1)) =k (do k #3) 
=> [7n+2 -3(2n+1), 2n+1] =k 
=> (n-1, 2n+1) =k (*) 

Mặt khác k lẻ do 2n +1 lẻ 

Từ (*) => (2n+1, 2n-2) =k 
=> [2n+ 1, (2n+1) -(2n-2)] =k 
=> (2n+1,3) =k 

do k # 3 => k=1 

Từ đó suy ra với giá trị nào đó của n thì 2 số đã cho chỉ có ước chung duy nhất là k =3, còn lại là nguyên tố cùng nhau 

Ta thấy nếu n có dạng n=3k +1 thì 2n+1 và 7n+2 có ước chung là k =3 

=> n=3k và n=3k+2 thì 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau 

Từ 11 -> 999 có 989 số, trong đó có 329 số chia cho 3 dư 1 (do ko tính số 10 theo đề bài) 

Như vậy còn lại 989 -329 = 660 số n để (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau

Tick nhé Nguyen Thi Le Giang

Giả sử 
(7n+2,2n+1) =k với k# 3 
=> (7n+2, 3(2n+1)) =k (do k #3) 
=> [7n+2 -3(2n+1), 2n+1] =k 
=> (n-1, 2n+1) =k (*) 

Mặt khác k lẻ do 2n +1 lẻ 

Từ (*) => (2n+1, 2n-2) =k 
=> [2n+ 1, (2n+1) -(2n-2)] =k 
=> (2n+1,3) =k 

do k # 3 => k=1 

Từ đó suy ra với giá trị nào đó của n thì 2 số đã cho chỉ có ước chung duy nhất là k =3, còn lại là nguyên tố cùng nhau 

Ta thấy nếu n có dạng n=3k +1 thì 2n+1 và 7n+2 có ước chung là k =3 

=> n=3k và n=3k+2 thì 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau 

Từ 11 -> 999 có 989 số, trong đó có 329 số chia cho 3 dư 1 (do ko tính số 10 theo đề bài) 

Như vậy còn lại 989 -329 = 660 số n để (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau

Gọi d là UCLN(2n+1;14n+5)

->(14n+5)-(2n+1)chia hết cho d

->(14n+5)-7(2n+1) chia hết cho d

->14n+5-14n-1 chia hết cho d

->n+5-n-1

4 chia hết cho d

d thuộc {1;-1;2;-2;4;-4}

Sau đó thì bạn dùng phương pháp thử chọn nha.