\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

Áp dụng BĐT cô si ta có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

LÀm tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\\\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\end{cases}}\Rightarrowđpcm\)

Vậy GTNN của S =6 khi a=b=c

a) \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Tổng của hai phân số dương nghịch đảo bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 2 nên :

\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)  ;   \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)   ;    \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\)

\(\Rightarrow S\ge2+2+2=6\)

b) \(S\ge6\) nên GTNN của S là 6 ( \(\Leftrightarrow\) a = b =c )

a] Ta có : \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\); \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Rightarrow S\ge2+2+2=6\)

b] Ta có \(S=6\Leftrightarrow a=b=c\)

GTNN của S =6

Em trả lời trước nhé nhưng chưa hiện lên O-L-M đừng chọn bạn kia vội !

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}.\)

\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\left(1\right)\)

\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\left(2\right)\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(3\right)\)

Cộng (1) ; (2) và (3) ta được :

\(S=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge6\) (đpcm)

Bài 1 :

Ta có : \(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Ta chứng minh BĐT \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)

Thật vậy : BĐT \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) ( đúng )

Vậy \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)

Áp dụng vào bài toán ta có : \(S\ge2+2+2=6\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy min \(S=6\) tại \(a=b=c\)

* Chứng minh tổng hai phân số dương nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng 2 : 

Cho phân số : \(\frac{a}{b}\)  \(\left(a,b\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)

Do đó : 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) ( điều phải chứng minh ) 

Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Chúc bạn học tốt ~ 

\(a)\) Ta có : 

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

\(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Vì tổng của hai phân số nguyên dương nghịch đảo sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 2 nên ta được : 

\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\\\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\end{cases}}\)

Cộng theo vế ba đẳng thức trên ta có : 

\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2+2+2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\)\(S\ge6\)

Vậy \(S\ge6\)

\(b)\) Vì \(S\ge6\) nên \(S_{min}=6\) khi \(a=b=c\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Bạn ơi, có Chứng minh đc tại sao tổng của 2 phân số dương nghịch đảo lại lớn hơn 2 ko

a)  ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

 Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)

tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)

=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)

mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)

cộng từng vế ta có \(S\ge9\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2

câu 2 tương tự

chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin