a) Ta có \(P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+a\)

\(=\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)+a\)

\(=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+a\)

Đặt \(b=x^2+8x+9\) khi đó P(x) có dạng:

\(\left(b-2\right)\left(b+6\right)+a=b^2+4b+a-12=b\left(b+4\right)+a-12\)

nên để \(P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\Leftrightarrow a-12=0\Leftrightarrow a=12\)

c) Cách 1:

Để \(P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+3\right)x+b=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+3=0\\b=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=-3\\b=0\end{cases}}\)

Vậy a=-3 và b=0 để \(P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)

a) 

 

Để \(2n^2-n+2⋮2n+1\)

\(\Leftrightarrow3⋮2n+1\)

\(\Leftrightarrow2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{0;1;-2;-1\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{0;1;-2;-1\right\}\)để \(2n^2-n+2⋮2n+1\)

b) Áp dụng định lý Bezout ta có:

\(M\left(x\right)\)chia hết cho \(\left(x+1\right)^2\)\(\Leftrightarrow M\left(-1\right)=0\)

                                                             \(\Leftrightarrow-1+1+1+a=0\)

                                                            \(\Leftrightarrow a=-1\)

Vậy a=-1 thì M(x) chia hết cho \(\left(x+1\right)^2\)

Để \(P⋮Q\)<=> -8 - m = 0

<=> m = -8

Bài làm

P = x⁴ + x³ + 5x² + 8x + 2 - m

Q = x² - x + 5 

Gọi H là thương trong phép chia P cho Q

Ta có : P bậc 4 , Q bậc 2 => H bậc 2

=> H có dạng x² + ax + b

Khi đó : P chia hết cho Q <=> P = Q.H

<=> x⁴ + x³ + 5x² + 8x + 2 - m = ( x² - x + 5 )( x² + ax + b )

<=> x⁴ + x³ + 5x² + 8x + 2 - m = x⁴ + ax³ + bx² - x³ - ax² - bx + 5x² + 5ax + 5b

<=> x⁴ + x³ + 5x² + 8x + 2 - m = x⁴ + ( a - 1 )x³ + ( b - a + 5 )x² + ( 5a - b )x + 5b

Đồng nhất hệ số ta có :

\(\hept{\begin{cases}a-1=1\\b-a+5=5\\5a-b=8\end{cases}};5b=2-m\)

=> \(\hept{\begin{cases}a=b=2\\m=-8\end{cases}}\)

Vậy m = -8