1. 3S= 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)] 
=[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)] 
=n(n+1)(n+2) 
=>S 

Biểu thức này dùng để tính tổng 1^2+..+n^2 rất tiện và thực tế cũng là ket quả của hệ quả trên. 
dùng cách thức tương tự có thể tính S=1.2.3+...+ n(n+1)(n+2) từ đó suy ra tổng 1^3+...+n^3 
Việc sử dụng trước kết quả tổng 1^2+...+n^2 theo tôi là ngược tiến trình.

2. S = 1.2.3 + 2.3.4 +..+ (n-1).n.(n+1) 

4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 +..+ (n-1)n(n+1).4 

ghi dọc cho dễ nhìn: 
(k-1)k(k+1).4 = (k-1)k(k+1)[(k+2) - (k-2)] = (k-1)k(k+1)(k+2) - (k-2)(k-1)k(k+1) 
ad cho k chạy từ 2 đến n ta có: 
1.2.3.4 = 1.2.3.4 
2.3.4.4 = 2.3.4.5 - 1.2.3.4 
3.4.5.4 = 3.4.5.6 - 2.3.4.5 
... 
(n-2)(n-1)n.4 = (n-2)(n-1)n(n+1) - (n-3)(n-2)(n-1)n 
(n-1)n(n+1).4 = (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1) 
+ + cộng lại vế theo vế + + (chú ý cơ chế rút gọn) 
4S = (n-1)n(n+1)(n+2) 

3. 

a) \(\frac{205.5^{10}}{100^5}=\frac{41.5^{11}}{5^2.4}=\frac{41.5^9}{4}\)

b) \(\frac{\left(0,9\right)^5}{\left(0,3\right)^5}=\left(0,9:0,3\right)^5=3^5=243\)

c) \(\frac{6^2+3.6+3^2}{-13}=\frac{2^2.3^2+3.6+3^2}{-13}=\frac{3\left(2^2.3+6+3\right)}{-13}=\frac{3.21}{-13}=\frac{63}{-13}\)

d) \(\frac{4^6.9^5.6^9.120}{8^4.3^{12}-6^{11}}=\frac{\left(2^2\right)^6.\left(3^2\right)^5.\left(2.3\right)^9.2^3.3.5}{\left(2^3\right)^4.3^{12}-\left(2.3\right)^{11}}=\frac{2^{24}.3^{20}.5}{2^{12}.3^{12}-2^{11}.3^{11}}=\frac{2^{24}.3^{20}.5}{2^{11}.3^{11}.\left(2.3-1\right)}=\frac{2^{13}.3^9.5}{5}=2^{13}.3^9\)

a) 3,6 x 7,2 - 3,6 x 7,1

= 3,6 x (7,2 - 7,1)

= 3,6 x 0,1

= 0,36

b) 0,15 x 600 = 0,15 x 100 x 6

                    = 15 x 6

                     = 90

a) 3,6 x 7,2 - 3,6 x 7,1

= 3,6 x (7,2 - 7,1)

= 3,6 x 0,1

= 0,36

b) 0,15 x 600 

= 0,15 x 100 x 6

= 15 x 6

= 90

3,6 x 7,2 - 3,6 x 7,1

= 3,6 x ( 7,2 - 7,1 )

= 3,6 x 0,1

= 0,36

b ) 0,15 x 600

= 0,15 x 100 x 6

= 15 x 6

= 90