X= 3 Y=6 Z=4

Em yêu

Ta có: \(\left(5x-7\right)^2\ge0\) \(\left(6-5y\right)^2\ge0\) \(\left(5z\right)^2\ge0\) Nên để \(\left(5x-7\right)^2+\left(6-5y\right)^2+\left(5z\right)^2=0\)

Mình bổ sung: \(\Rightarrow\left(5x-7\right)^2=0\) ; \(\left(6+5y\right)^2=0\) \(\left(5z\right)^2=0\) \(\rightarrow\) 5x-7=0 . \(\rightarrow5x=7\Rightarrow x=\dfrac{7}{5}\) \(\left(6-5y\right)^2=0\rightarrow6-5y=0\rightarrow5y=6\rightarrow y=\dfrac{6}{5}\)

\(\left(5z\right)^2=0\rightarrow5z=0\) \(\rightarrow z=0\) Vậy x=\(\dfrac{7}{5}\) ; z=0; y= \(\dfrac{6}{5}\)

theo mk nghĩ ; 

(5x - 7)² + (6-5y)² + (5z)² = 10

chi xay ra khi 4+4+2 (loại) vi k có so nao binh phuong =2

vay 9+1+0 =10 ta co;

x = 2

y=1

z=0

(hop ly va duy nhat)

cm bđt phụ \(5x^2+6xy+5y^2\ge4\left(x+y\right)^2\)nhé

Ta có: \(\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}=\sqrt{4\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{4\left(x+y\right)^2}=2\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}\ge\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}\ge\frac{2\left(y+z\right)}{y+z+2x}\)(2); \(\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\ge\frac{2\left(z+x\right)}{z+x+2y}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)\(\ge2\left[\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right]\)

Đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)thì \(\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

Nhưng ta có BĐT Nesbitt quen thuộc sau: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Thật vậy: 

(Bài này mình đã làm nhiều rồi nha nên ngại đánh lại, đây là bất đẳng thức có rất nhiều cách chứng minh nhưng mình nghĩ dồn biến là cách hay và đẹp nhất nha! Có thể tham khảo nhiều cách khác trên mạng, vô thống kê hỏi đáp của mình xem ảnh)

Như vậy: \(\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)\(\ge2\left[\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right]\)\(\ge2.\frac{3}{2}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z