Gọi A_n=2016ⁿ/20¹¹⁺ⁿ.n! với n=1,2,3...

Ta so sánh 2 phân số

 A_n=2016ⁿ/20ⁿ⁺¹¹.n!,A_n+1=2016ⁿ⁺¹/20ⁿ⁺¹².(n+1)!

=>A_n=2016ⁿ.20.(n+1)/20ⁿ⁺¹².(n+1)!,A_n+1=2016ⁿ.2016/20ⁿ⁺¹².(n+1)!

Để so sánh tử số ta chỉ cần so sánh 20(n+1) với 2016.Khi đó ta thấy 

20(n+1)<2016 <=> n < hoặc = 99            =>A_n<A_n+1 <=> n< hoặc = 99

20(n+1)>2016 <=> n > hoặc =100          =>A_n>A_n+1 <=> n> hoặc =100

Do đó A₁<A₂<...<A₁₀₀>A₁₀₁>A₁₀₂>...

 Vậy A_n đạt giá trị lớn nhất khi n=100

tks bn

Ta thấy \(87=1.87=3.29\) nên ta xét 2TH

 TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=1\\S\left(n+1\right)=87\end{matrix}\right.\)

 Vì \(S\left(n\right)=1\) nên \(n=100...00\), do đó \(n+1=100...01\) nên \(S\left(n+1\right)=2\), mâu thuẫn.

 TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=87\\S\left(n+1\right)=1\end{matrix}\right.\)

 Vì \(S\left(n+1\right)=1\) nên \(n+1=100...00\), do đó \(n=999...99\) chia hết cho 9, dẫn đến \(S\left(n\right)⋮9\), mâu thuẫn với \(S\left(n\right)=87\)

 TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=3\\S\left(n+1\right)=29\end{matrix}\right.\)

Vì \(S\left(n\right)=3\) nên \(n⋮3\) \(\Rightarrow n+1\) chia 3 dư 1 \(\Rightarrow S\left(n+1\right)\) chia 3 dư 1. Thế nhưng 29 chia 3 dư 2, vô lý.

 TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=29\\S\left(n+1\right)=3\end{matrix}\right.\) . Ta lại xét các TH:

   TH4.1: \(n+1=10...010...01\) hoặc \(200...01\) hoặc \(100...2\). Khi đó trong tất cả các TH thì ta đều có \(S\left(n\right)=2\), không thỏa mãn.

   TH4.2: \(n+1=10...010...010...0\) hoặc \(200...0100...0\) hoặc \(100...020...0\) hoặc \(300...00\). Khi đó trong tất cả các TH thì ta đều có\(S\left(n\right)=2+9m\left(m\inℕ\right)\) với m là số chữ số 9 có trong n. Để chọn được số nhỏ nhất, ta chỉ việc lược bỏ tất cả các số 0 ở giữa và cho \(m=3\) để có \(S\left(n\right)=29\). Vậy, ta tìm được \(n=11999\) (thỏa mãn)

 Vậy, số cần tìm là 11999.

giải nhanh các bn ạ