dat m = 3k + r voi 0 \(\le\)r \(\le\) 2 va n = 3t + s

=> x^m  + xⁿ + 1  = x^{3k + r} + x^{3t +s} + 1 = x^3k. x^r - x^r + x^3t . x^s - x^s + x^r + x^s +1

                                                     = x^r ( x^3t -1) + x^s ( x^3t - 1) + x^r + x^s + 1

ta thay: x^3k-1 \(⋮\)  \(\left(x^2+x+1\right)\)va \(\left(x^{3t}-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\) 

vay \(\left(x^m+x^n+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^r+x^s+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)voi \(0\le r;s\le2\)

\(\Leftrightarrow r=2;x=1\Rightarrow m=3k+2;n=3t+1\)

\(r=1;s=2\Rightarrow m=3k+1;n=3t+2\)

\(\Leftrightarrow mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\)

\(mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\)

\(\Rightarrow\left(mn-2\right)⋮3\)

ap dung:  \(m=7;n=2;\Rightarrow mn-2=12⋮3\)

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)=x^5+x^4+x^2+x+1\)

⇒xm+xn+1=x3k+r+x3t+s+1=x3k.xr−xr+x3t.xs−xs+xr+xs+1

                                                                       =xr(x3t−1)+xs(x3t−1)+xr+xs+1

Ta thấy: (x3k−1)chia hết (x2+x+1)và (x3t−1) chia hết (x2+x+1)

Vậy: (xm+xn+1)chia hết (x2+x+1)

⇔(xr+xs+1)chia hết (x2+x+1)với 0≤r;s≤2

⇔r=2;x=1⇒m=3k+2;n=3t+1

      r=1;s=2⇒m=3k+1;n=3t+2

⇔mn−2=(3k+2)(3t+1)−2=9kt+3k+6t=3(3kt+k+2t)

      mn−2=(3k+1)(3t+2)−2=9kt+6k+3t=3(3kt+2k+t)

⇒mn−2chia hết cho 3.

Áp dụng:m=7;n=2⇒mn−2=12chia hết cho 3

⇒(x7+x2+1) chia hết cho (x2+x+1)

các bạn CTV vô đây giải bài này vs :(

câu này chịu

bố nó biết

mình mới học lớp 5 mà

a/

\(x+6y⋮17\Rightarrow5\left(x+6y\right)=5x+30y⋮17\)

\(5x+47y=\left(5x+30y\right)+17y\)

\(5x+30y⋮17\left(cmt\right);17y⋮17\Rightarrow5x+47y⋮17\)

b/

\(3x+16y⋮5\Rightarrow2\left(3x+16y\right)=6x+32y=\left(5x+30y\right)+\left(x+2y\right)⋮5\)

Mà \(5x+30y⋮5\Rightarrow x+2y⋮5\)

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)

dễ zậy mà 5 tháng trời rùi vẫn hổng có ai giải đc

+TH1: x⋮3 và y⋮3 thì x²⋮3 và y²⋮3 => x²+y²⋮3.

+TH2: x⋮3 và y không chia hết cho 3 (hoặc x không chia hết cho 3 và y⋮3)
=> x²⋮3 và y² không chia hết cho 3 => x²+y² không chia hết cho 3 -> loại

+TH3: x và y cùng chia 3 dư 1; giả sử x = 3a+1; y = 3b+1

\(x^2+y^2=\left(3a+1\right)^2+\left(3b+1\right)^2=9a^2+6a+1+9b^2+6b+1=3\left(3a^2+2a+3b^2+2b\right)+2\)

=> x²+y² chia 3 dư 2 -> loại.

+TH4: x và y cùng chia 3 dư 2; giả sử x = 3a-1; y = 3b-1

\(x^2+y^2=\left(3a-1\right)^2+\left(3b-1\right)^2=9a^2-6a+1+9b^2-6b+1=3\left(3a^2-2a+3b^2-2b\right)+2\)=> x²+y² chia 3 dư 2 -> loại

+TH5: x chia 3 dư 1 và y chia 3 dư 2 (hoặc x chia 3 dư 2 và y chia 3 dư 1); giả sử x = 3a+1; y = 3b-1

\(x^2+y^2=\left(3a+1\right)^2+\left(3b-1\right)^2=9a^2+6a+1+9b^2-6b+1=3\left(3a^2+2a+3b^2-2b\right)+2\)=> x²+y² chia 3 dư 2 -> loại

Vậy: x² + y² chia hết cho 3 khi và chỉ khi x và y chia hết cho 3.