Bài làm:

Ta có: Vì p,q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3

=> p,q đều là 2 số lẻ

=> p + q chẵn với mọi số nguyên tố p,q

=> p + q chia hết cho 2

=> đpcm

Cho mk xin lỗi mk nhầm đề xíu p+q chia hết cho 12 chứ ko pk 2 ạ.

Bài làm:

Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có 2 dạng như 3a+1 và 3a+2 (với a là số tự nhiên)

Ta xét 2 TH sau:

+Nếu: q = 3a + 1 => p = 2 + 3a + 1 = 3a + 3 = 3(a+1) là hợp số (loại)

+Nếu: q = 3a + 2 => p = 2 + 3a + 2 = 3a + 4

Mà q là số nguyên tố lớn hơn 3

=> a lẻ => a + 1 chẵn và chia hết cho 2

Thay vào: p + q = 3a + 2 + 3a + 4 = 6a + 6 = 6(a+1) , mà 6 chia hết cho 6, a + 1 chia hết cho 2

=> 6(a+1) chia hết cho 12

=> p + q chia hết cho 12

=> đpcm

Vì \(p^2=6q^2+1\) nên \(p^2\) lẻ

=>p lẻ

=>p=2k+1

\(p^2=6q^2+1\)

=>\(6q^2+1=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1\)

=>\(6q^2=4k^2+4k\)

=>\(3q^2=2k^2+2k=2k\left(k+1\right)\)

=>\(q^2\) ⋮2

=>q⋮2

=>q=2

Ta có: \(p^2=6q^2+1\)

=>\(p^2=6\cdot2^2+1=24+1=25\)

=>\(p=5\) (nhận)

\(p+10q=5+10\cdot2=25=5^2\) là số chính phương

a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương

Biến đổi phương trình ta có : 

\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :

TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)

TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)

TH1 :

\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )

Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương

b) Ta có : 

\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)

\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)

- Xét 2 trường hợp :

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)

+) TH1 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )

+) TH2 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )

chua chac tan cung la cac so do da la so chinh phuong

Giả sử: n+1=a²

2n+1=b²

Vì 2n+1 lẻ

=> b²:8 dư 1

=> 2n \(⋮\)8

=> n chẵn

=> a²:8 dư 1

=> n

GS: n+1= a²

2n+1=b²

=>2n chia hết cho 8

=> n chẵn

=> a² chia 8 dư 1

=> n chia hết cho 8

a²+b²=3n+2

Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

Mà 3n+2 chia 3 dư 2

=> b² và a² chia 3 dư 1

=> n chia hết cho 3

Mà [3,8]=1=> n chia hết cho 24

tui chưa học