1. cho các số thực dương x,y,z t/mãn: x² + y² + z² = 1

Cmr: \(\frac{x}{y^2+z^2}\) + \(\frac{y}{x^2+z^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\) \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

2. Cho x,y thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}xy\ge0\\x^2+y^2=1\end{cases}}\)

Tìm GTNN,GTLN của \(S=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\)

3. Cho \(\hept{\begin{cases}xy\ne0\\xy\left(x+y\right)=x^2+y^2-xy\end{cases}}\)

Tìm GTLN của      \(A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\)

4. Cho tam giác ABC; đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I vuông góc với đường phân giác trong của góc C. Gọi a,b,c là độ dài 3 canh tương ứng với 3 đỉnh A,B,C.

Cmr:  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{c}\)

ui má. đúng mấy bài tập thầy tui cho ôn. giờ đang loay hoay

a) \(\frac{12x-2}{4x+1}=\frac{12x+3-5}{4x+1}=3-\frac{5}{4x+1}\)
Để f(x) là số nguyên thì 5 chia hết cho (4x+1)
----------lập bảng-------
suy ra x = { 0;1}
b, *f(x)> 0 
=> \(\hept{\begin{cases}12x-2>0\\4x+1>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>\frac{1}{6}\\x>-\frac{1}{4}\end{cases}}\Rightarrow x>\frac{1}{6}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}12x-2< 0\\4x+1< 0\end{cases}\Rightarrow x< -\frac{1}{4}}\)

Suy ra f(x)>0 khi \(\orbr{\begin{cases}x>\frac{1}{6}\\x< -\frac{1}{4}\end{cases}}\)

*f(x)<0
=> \(\hept{\begin{cases}12x-2>0\\4x+1< 0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>\frac{1}{6}\\x< -\frac{1}{4}\end{cases}}}\)(loại)   
hoặc \(\hept{\begin{cases}12x-2< 0\\4x+1>0\end{cases}\Rightarrow-\frac{1}{4}< x< \frac{1}{6}}\)

Vậy f(x) < 0 khi -1/4 <x<1/6

thanks b

\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+1-x^2}{x^2\left(x+1\right)^2}=\frac{\left(x+1\right)^2-x^2}{x^2\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(2\right)+....+f\left(x\right)=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-....-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2y\left(x+1\right)^3-1}{\left(x+1\right)^2}-19+x=\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2y\left(x+1\right)^3-1}{\left(x+1\right)^2}-19+x=\frac{2y\left(x+1\right)^3-1}{\left(x+1\right)^2}-20+\left(x+1\right)=\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)^2}\)

Dat:\(x+1=a\Rightarrow\frac{\left(2y+1\right)a^3-20a^2-1}{a^2}=\frac{a^2-1}{a^2}\Leftrightarrow\left(2y+1\right)a^3-20a^2-1=a^2-1\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)a^3-20a^2=a^2\Leftrightarrow\left(2ay+a\right)-20=1\left(coi:x=-1cophailanghiemko\right)\)

\(\Leftrightarrow2ay+a=21\Leftrightarrow a\left(2y+1\right)=21\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2y+1\right)=21\)

f)

\(A=\sqrt{\frac{\left(x+1\right)}{x-3}}=\sqrt{1+\frac{4}{x-3}}\)

x-3={-4)=> x=-1

Ta có: \(f\left(x\right)=x^2+px+q\)

\(\Rightarrow f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+p.x+q\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+\left(x^2+p.x+q\right)\)

\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)

\(=f\left(x\right).\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)=f\left(x\right).\left(x^2+px+q+2x+p+1\right)\)

\(=f\left(x\right).\left(\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)p+q\right)=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)

Vậy tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009) ( Chọn x = 2018 thì \(k=f\left(2018\right)+2018\))

Đây là đề của trường nào vậy bạn?

Đề khó vcl ...

\(3xy+x+15y-44=0\)

\(3y\left(x+5\right)+\left(x+5\right)-49=0\)

\(\left(x+5\right)\left(3y+1\right)=49\)

Vì x;y là số nguyên \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+5\in Z\\3y+1\in Z\end{cases}}\)

Có \(\left(x+5\right)\left(3y+1\right)=49\)

\(\Rightarrow\left(x+5\right)\left(3y+1\right)\in\text{Ư}\left(49\right)=\left\{\pm1;\pm7;\pm49\right\}\)

b tự lập bảng nhé~