Với điều kiện x + y + z = 0, ta có thể giả sử x = a, y = -a và z = 0, với -1 ≤ a ≤ 1.

Thay các giá trị vào đa thức, ta có:

x^2 + y^4 + z^4 = a^2 + (-a)^4 + 0^4 = a^2 + a^4.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức này, ta xét đạo hàm của nó theo a:

f'(a) = 2a + 4a^3

Để tìm điểm cực tiểu, ta giải phương trình f'(a) = 0:

2a + 4a^3 = 0 a(1 + 2a^2) = 0

Vì -1 ≤ a ≤ 1, nên ta có hai giá trị a = 0 và a = ±1/√2.

Ta tính giá trị của đa thức tại các điểm cực tiểu:

f(0) = 0^2 + 0^4 = 0

f(1/√2) = (1/√2)^2 + (1/√2)^4 ≈ 0.8536

f(-1/√2) = (-1/√2)^2 + (-1/√2)^4 ≈ 0.8536

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của đa thức là khoảng 0.8536, lớn hơn 2. Do đó, ta có thể kết luận rằng đa thức x^2 + y^4 + z^4 có giá trị k lớn hơn 2.

vì trong 3 số x,y,z có ít nhất là 2 số cùng dấu

giả sử \(x,y\le0\)\(\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\ge0\)

Mà \(-1\le x,y,z\le1\)nên \(x^2\le\left|x\right|;y^4\le\left|y\right|;z^6\le\left|z\right|\)

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|=-x-y+z=-\left(x+y\right)+z=2z\le2\)

Dấu " = " xảy ra chẳng hạn x = 0 ; y = -1; z = 1

tick mình xong mình giải cho

Ta có:

\(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1\Leftrightarrow x^2;y^2;z^2\le1\) (1)

Trong 3 số \(x;y;z\)có ít nhất 2 số cùng dấu(giả xử là \(x;y\)) ta có: \(xy\ge0\Rightarrow2xy\ge0\)(2)

\(x^2+y^4+z^6=x^2+y^2.y^2+z^2.z^2.z^2\le x^2+y^2+z^2\)(3)

ta sẽ chứng minh:

\(x^2+y^2+z^2\le2\) ta có: 

\(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2xy\)(từ (2) )

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y\right)^2+z^2=\left(-z\right)^2+z^2=2z^2\le2\)(từ (1)  )

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le2\left(đpcm\right)\)(từ (3) )

Ta có:

−1≤x≤1;−1≤y≤1;−1≤z≤1⇔x2;y2;z2≤1 (1)

Trong 3 số x;y;zcó ít nhất 2 số cùng dấu(giả xử là x;y) ta có: xy≥0⇒2xy≥0(2)

x2+y4+z6=x2+y2.y2+z2.z2.z2≤x2+y2+z2(3)

ta sẽ chứng minh:

x2+y2+z2≤2 ta có: 

x2+y2+z2≤x2+y2+z2+2xy(từ (2) )

⇒x2+y2+z2≤(x+y)2+z2=(−z)2+z2=2z2≤2(từ (1)  )

⇒x2+y4+z6≤2(đpcm)(từ (3) )

 ..