Giải:

Vì $a\in Z^{+}$

$\Rightarrow 5^b=a^3+3a^2+5>a+3=5^c$

$\Rightarrow 5^b>5^c\Rightarrow b>c$

$\Rightarrow 5^b⋮5^c$

$\Rightarrow a^3+3a^2+5⋮a+3$

$\Rightarrow a^2\left(a+3\right)+5⋮a+3$

Mà $a^2\left(a+3\right)⋮a+3$

$\Rightarrow 5⋮a+3$

$\Rightarrow a+3\in Ư\left(5\right)$

$\Rightarrow a+3\in \left\{\pm 1;\pm 5\right\}\left(1\right)$

Do $a\in Z^{+}\Rightarrow a+3\ge 4\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$

$\Rightarrow a+3=5$

$\Rightarrow a=5-3$

$\Rightarrow a=2$$(\ast )$

Thay $(\ast )$ vào biểu thức ta có:

$2^3+{3.2}^2+5=5^b\iff b=2$

$2+3=5^c\iff c=1$

Vậy: $\{\begin{array}{c}a=2\\ b=2\\ c=1\end{array}$

toán tuổi thơ 2 số 190

Bài 1: n có 4 chữ số dạng 20ab => 20ab + 2 + a +b=2013 => 11a+b=11

a=0 => b=11(loại)

a=1 => b=0 => n=2010

với n<2000 => tổng các chữ số của n lớn nhất là: 1+9+9+9=28 => n  ≥ 2013-28=1985

xét n có dạng 19ab: 19ab+1+9+a+b=2013 => 11a+b=103

do n ≥ 1985 => a ≥ 8

a=8 => b=7,5 (loại)

a=9 => b=2 => n=1992

Bài 2: Chắc là hợp số :D

từ \(a^2+b^2+c^2=e^2+f^2+d^2\)

=> \(a^2+b^2+c^2\text{ ≡}d^2+e^2+f^2\)(mod 2)

=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)  ≡ \(d^2+e^2+f^2+2\left(de+ef+fd\right)\)(mod 2)

=>\(\left(a+b+c\right)^2\text{ ≡}\left(d+e+f\right)^2\) (mod 2)

=>a+b+c ≡ d+e+f (mod 2)

=> a+b+c+d+e+f chia hết cho 2

Theo đề bài ta có :

\(a+b+b+c+c+a=-3-5+10\)

\(\Rightarrow\)\(2a+2b+2c=2\)

\(\Rightarrow\)\(2\left(a+b+c\right)=2\)

\(\Rightarrow\)\(a+b+c=\frac{2}{2}=1\)

Do đó :

\(a=a+b+c-\left(b+c\right)=1-\left(-5\right)=6\)

\(b=a+b+c-\left(c+a\right)=1-10=-9\)

\(c=a+b+c-\left(-3\right)=1+3=4\)

Vậy \(a=6\)\(;\)\(b=-9\)và \(c=4\)

Chúc bạn học tốt