a) Vì k là số tự nhiên nên :

- Nếu k = 0 thì 7 . k = 0, không phải số nguyên tố.

- Nếu k = 1 thì 7 . k = 7, là số nguyên tố.

- Nếu k \(\ge\) 2 thì 7 . k \(\in\) B(7), không phải số nguyên tố.

                Vậy k = 1 thỏa mãn đề bài.

a) Điều kiện: k>0

  Số nguyên tố là số có hai ước tự nhiên 1 và chính nó.

  7k có các ước:  1,k và 7 (vẫn còn nếu k là hợp số)

 Buộc k phải bằng 1 để thõa mãn yêu cầu đề bài

b) Từ đề trên thì chắc chắn a không là số chẵn.

 Nếu k có dạng 3q thì:

           + k+6 chia hết cho 3 (loại)

   Nếu k có dạng 3q+1 thì 

          + k+14 = 3q + 15 chia hết cho 3 (loại)

 Nếu k có dạng 3q+2 (>5)thì:

   + Nếu q chẵn thì 3q +2 chia hết cho 2 => k chia hết cho 2(loại)

   + Nếu q là 1 hợp số q có thể chia hết cho 3,5,7,9 (1)

Như vậy thì một trong các số trên đề sẽ là hợp số

  Vậy q là 1 số nguyên tố khác 3,5,7 (do 1) và q cũng có thể bằng 1

 => k=3q+2 (với q bằng 1 và q là các số nguyên tố khác 3,5,7)

nếu k=0 thì 13.k =13.0=0 là hợp số,loại

nếu k=1thì 13.k=13.1=13 ,chọn

 nếu k lớn hơn hoặc bằng 2 thì 13.k có ước là 13 khác 1 và 13.k nên suy ra số đó là hợp số ,loại

vậy k=1

+) Với k = 1 thì dãy trên có 5 số nguyên tố là 2,3,5,7,11.

+) Với k = 0 thì dãy trên có 4 số nguyên tố là 2,3,5,7.

+)  Với k \(\ge\) 2 thì các số của dãy trên đều không nhỏ hơn 3 và trong 10 số đó có 5 số chẵn là hợp số và 5 số lẻ liên tiếp, trong các số lẻ này có ít nhất một số khác 3 mà chia hết cho 3. Do đó số các số nguyên tố không vượt quá 4.

                    Vậy k = 1 thì dãy chứa nhiều số nguyên tố nhất.

a, Với k ≥ 2 thì 7k có ít nhất 3 ước là 1,7,7k  nên 7k là hợp số ( không thỏa mãn).

Với k = 1 thì  7k = 7 là số nguyên tố.

Vậy k = 1.

b, k chia cho 5 có thể dư 0,1,2,3,4.

Với k chia cho 5 dư 1 thì k+14 ⋮ 5 và k+14 > 5 nên k+14 là hợp số ( loại).

Với k chia cho 5 dư 2 thì k+8 ⋮ 5 và k+8 > 5 nên k+8 là hợp số ( loại).

Với k chia cho 5 dư 3 thì k+12 ⋮ 5 và k+12 > 5 nên k+12 là hợp số ( loại).

Với k chia cho 5 dư 4 thì k+6 ⋮ 5 và k+6 > 5 nên k+6 là hợp số ( loại).

Với k chia hết cho 5 và k > 5 thì k là hợp số (loại )

Với k = 5. Thử thấy 5,11,13,17,19  đều là số nguyên tố.

Vậy k = 5.