a) Gọi d là UCLN ( a,a-b )

=> a chia hết cho d

     a - b chia hết cho d

=> a - a - b chia hết cho d 

=> b chia hết cho d

Mà UCLN( a , b ) = 1

=> d = 1

Vậy b và a - b là 2 số nguyên tố cùng nhau

Giả sử d là ước nguyên tố của ab và a+b.

=> ab chia hết cho d và a+b chia hết cho d.

Vì ab chia hết cho d => a chia hết cho d và b chia hết cho d (Vì d là số nguyên tố)

Do vai trò của a và b bình đẳng nên:

Giả sử: a chia hết cho d => b chia hết cho d (vì a+b chia hết cho d)

=> d thuộc ƯC(a;b). Mà ƯCLN(a,b)=1

=> d=1(trái với d là số nguyên tố)

Do đó ab và a+b không thể có ước nguyên tố chung.

=> ƯCLN(ab,a+b)=1

Vậy ƯCLN(ab,a+b)=1

a) Vì ƯCLN(a,b)=42 nên a=42.m và b=42.n với ƯCLN(m,n)=1

Mặt khác a+b=252 nên 42.m+42.n=252 hay m+n=6

Do m và n nguyên tố cùng nhau nên ta được như sau:

- Nếu m=1 thì a=42 và n=5 thì b=210

- Nếu m=5 thì a=210 và n=1 thì b=42

b) x+3 là ước của 12= {1;2;3;4;6} suy ra x={0;1;3}

c) Giả sử ƯCLN(2n+1; 6n+5)=d khi đó (2n+1) chia hết cho d và (6n+5) chia hết cho d

                                                        3(2n+1) chia hết cho d và (6n+5) chia hết cho d

                                                        (6n+5) - (6n+3) chia hết cho d syt ra 2 chia hết cho d suy ra d=1; d=2

Nhưng do 2n+1 là số lẻ nên d khác 2. vậy d=1 suy ra ƯCLN(2n+1; 6n+5)=1

Như vậy 2n+1 và 6n+5 là 2 nguyên tố cùng nhau với bất kỳ n thuộc N (đpcm)

m n ở đâu

Gọi \(ƯCLN\left(n^2+n+1;n^2+n-1\right)=d\) ta có : 

\(\hept{\begin{cases}n^2+n+1⋮d\\n^2+n-1⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(n^2+n+1\right)-\left(n^2+n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(n^2+n+1-n^2-n+1⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(2⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\)\(d\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(ƯCLN\left(n^2+n+1;n^2+n-1\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Lại có : 

\(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

\(n^2+n-1=n\left(n+1\right)-1\)

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp là số chẵn nên số liền trước và số liền sau nó là số lẻ 

\(\Rightarrow\)\(ƯCLN\left(n^2+n+1;n^2+n-1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Vậy \(n^2+n+1\) và \(n^2+n-1\) là hai số nguyên tố cùng nhau 

Chúc bạn học tốt ~ 

mk đag cần rất gấp!!!!!!!!!!!!

Ai trả lời nhanh nhất mk k cho nha!!!!!!!!!!!!!