Đặt z 1 = x 1 + i y 1 ; z 2 = x 2 + i y 2 .

Từ giả thiết ta có

x 1 2 + y 1 2 = 9 x 2 2 + y 2 2 = 16 x 1 + x 2 2 + y 1 + y 2 2 = 37 ⇒ x 1 x 2 + y 1 y 2 = - 6 x 2 y 1 - x 1 y 2 2 = 108

Vậy z = - 3 8 ± 3 3 8 i

Đáp án A

Đáp án D.

Đáp án A.

Từ  

z = z 1 z 2 = a + b i → z = z 1 z 2 = z 1 z 2 = a 2 + b 2 → a 2 + b 2 = 3 4

Từ  

z 1 − z 2 z 2 = z 1 − z 2 z 2 = z 1 z 2 − 1 = z − 1 = 37 4 → a − 1 2 + b 2 = 37 4

Ta có hệ phương trình sau

a 2 + b 2 = 9 16 a − 1 2 + b 2 = 37 16 ⇔ a 2 + b 2 = 9 16 a − 1 2 − a 2 = 7 4 ⇔ a 2 + b 2 = 9 16 − 2 a = 3 4

  ⇔ a = − 3 8 b 2 = 9 16 − − 3 8 2 = 27 64  

Vậy  b = ± 3 3 8 → b = 3 3 8

Đáp án D

Đáp án D.

Gọi   M a ; b là điểm biểu diễn số phức z = a + b i . Đặt I = 1 ; 1   , A 7 ; 9  và   B 0 ; 8

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn   C có tâm I, bán kính   R = 5 sao cho biểu thức P = M A + 2 M B  đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta tìm điểm K x ; y  sao cho  M A = 2 M K   ∀ M ∈ C   .

Ta có  

  M A = 2 M K ⇔ M A 2 = 4 M K 2 ⇔ M I → + I A → 2 = 4 M I → + I K → 2

⇔ M I 2 + I A 2 + 2 M I → . I A → = 4 M I 2 + I K 2 + 2 M I → . I K →

⇔ 2 M I → I A → − 4 I K → = 3 R 2 + 4 I K 2 − I A 2   *

(*) luôn đúng ∀ M ∈ C ⇔ I A → − 4 I K → = 0 → 3 R 2 + 4 I K 2 − I A 2 = 0 .

I A → − 4 I K → = 0 → ⇔ 4 x − 1 = 6 4 y − 1 = 8 ⇔ x = 5 2 y = 3

Thử trực tiếp ta thấy  K 5 2 ; 3    thỏa mãn 3 R 2 + 4 I K 2 − I A 2 = 0 .

Ta cos  M A + 2 M B = 2 M K + 2 M B = 2 M K + M B ≥ 2 K B   .

Vì B I 2 = 1 2 + 7 2 = 50 > R 2 = 25  nên B nằm ngoài (C).

Vì K I 2 = 3 2 2 + 2 2 < R 2 = 25  nên K nằm trong (C)  .

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK  . Do đó  M A + 2 M B  nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.

Phương trình đường thẳng B K : 2 x + y − 8 = 0 .

Phương trình đường tròn C : x − 1 2 + y − 1 2 = 25 .

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

2 x + y = 8 x − 1 2 + y − 1 2 = 25 ⇔ x = 1 y = 6

 hoặc x = 5 y = − 2 .

Thử lại thấy M 1 ; 6  thuộc đoạn BK.

Vậy  a = 1, b = 6 ⇒ a + b = 7   .

Đáp án A

Ta có z ¯ = a − b i  thay vào phương trình :

1 + 3 i a + b i + 2 + i a − b i = − 2 + 4 i

⇔ 3 a − 2 b + 4 a − b i = − 2 + 4 i ⇔ a = 2 b = 4 ⇒ a b = 8

Chọn đáp án C

Cách 2: Gọi  lần lượt là điểm biểu diễn số phức  z 1 , z 2

Theo đề bài  z 1 , z 2  là hai trong các số phức thỏa mãn  z - 3 - 2 i = 5  nên  và  thuộc đường tròn tâm I(3;2), bán kính R=5.

Đáp án D

Gọi   M x ; y là điểm biểu diễn số phức z 1 . Khi đó  z 1 − 2 2 − z 1 + i 2 = 1

⇔ x − 2 2 + y 2 − x 2 − y + 1 2 = 1 ⇔ − 4 x − 2 y + 2 = 0 ⇔ 2 x + y − 1 = 0

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 1  là đường thẳng Δ : 2 x + y − 1 = 0 .

Gọi N a ; b  là điểm biểu diễn số phức  z 2   . Khi đó  z 2 − 4 − i = 5 ⇔ a − 4 2 + b − 1 2 = 5

Suy ra tâp hợp các điểm N biểu diễn số phức   z 2 là đường tròn C : x − 4 2 + y − 1 2 = 5  có tâm  I 4 ; 1 , bán kính R = 5 .

Nhận thấy   d I ; Δ = 2.4 + 1 − 1 2 2 + 1 2 = 8 5 5 > 5 = R nên đường thẳng  Δ  và đường tròn (C)  không cắt nhau.

Lại có z 1 − z 2 = x − a + y − b i = x − a 2 + y − b 2 = M N . Dựa vào hình vẽ ta thấy  M N min ⇔ M N = d I ; Δ − R   . Vậy  z 1 − z 2 min = 8 5 5 − 5 = 3 5 5   .