Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để điểm M(2m3; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2 x 3 - 3 ( 2 m + 1 ) x 2 + 6 m ( m + 1 ) x + 1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất
A. 0
B. 1
C. 2
D. Không tồn tại
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M( 2m3; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= 2x3-3( 2m+ 1) x2+ 6m( m+1) x+1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
+ Ta có: y’ = 6x2-6( 2m+1) x+ 6m(m+1)
do đó hàm số luôn có cực đại cực tiểu với mọi m.
+ Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A( m; 2m3+3m2+1 ) và B( m+1; 2m3+3m2)
Suy ra AB = √2 và phương trình đường thẳng AB: x+ y-2m3-3m2-m-1=0.
+ Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
d ( M , A B ) = 3 m 2 + 1 2 ⇒ d ( M , A B ) ≥ 1 2 ⇒ m i n d ( M , A B ) = 1 2
đạt được khi m=0
Chọn B
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M ( 2 m 3 ; m ) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2 x 3 - 3 ( 2 m + 1 ) x 2 + 6 m ( m + 1 ) x + 1 một tam giác có diện tích nhỏ nhất
A. m = 2
B. m = 0
C. m = 1
D. m = -1
Chọn B
Ta có:
⇒ ∀ m ∈ ℝ , hàm số luôn có CĐ, CT
Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là
Suy ra A B = 2
và phương trình đường thẳng x + y - 2 m 3 - 3 m 2 - m - 1 = 0
Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
Ta có:
⇒ đạt được khi m = 0
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để điểm M 2 m 3 ; m tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2 x 3 - 3 2 m + 1 x 2 + 6 m m + 1 x + 1 C một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
A. 0
B. 1
C. 2
D. Không tồn tại
Chọn B.
Phương pháp: v
Cách giải: Ta có
Dấu bằng xảy ra khi m = 0.
Vậy có duy nhất một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số: y=x-3-3(m+1)x2+9x+m-2 (1) có đồ thị là (Cm). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=1/2x ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = - x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 - 1 ) x - 3 m 2 - 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
+ Đạo hàm y’ = -3x2+ 6x+ 3( m2-1) = -3( x2- 2x-m2+1).
Đặt g( x) = x2- 2x-m2+1 là tam thức bậc hai có ∆ ' = m 2 .
+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' > 0 ⇔ m ≠ 0 . (1)
+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m3) và B( 1+m ; -2+ 2m3).
Ta có:
O A → ( 1 - m ; - 2 - 2 m 3 ) ⇒ O A 2 = ( 1 - m ) 2 + 4 ( 1 + m 3 ) 2 . O B → ( 1 + m ; - 2 + 2 m 3 ) ⇒ O B 2 = ( 1 + m ) 2 + 4 ( 1 - m 3 ) 2 .
Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA= O B hay OA2= OB2
( 1 - m ) 2 + 4 ( 1 + m 3 ) 2 = ( 1 + m ) 2 + 4 ( 1 - m 3 ) 2 ⇔ - 4 m + 16 m 3 = 0
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m = ± 1 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Cho hàm số y=x4-2( m2-m+1)x2+m-1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
A. m= -1/2
B. m= 1/2
C. m=2
D. m=1
Ta có
Suy ra đồ thị có hai điểm cực tiểu là A - m 2 - m + 1 ; y C T và B m 2 - m + 1 ; y C T
Khi đó
Dấu xảy ra khi m=1/2.
Chọn B.
Cho hàm số y = - x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 - 1 ) x - 3 m 2 - 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x=2
A. 3
B. 1
C. 2
D. 0
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3 m x 2 + 4 m 3 có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x ?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Đáp án là A.
Ta có: y , = 3 x 2 - 6 m x = 0 ⇔ x = 0 x = 2 m
Để đồ thị hàm số có 2 cực trị thì m ≢ 0 suy ra A(0; 4 m 8 ),B(2m;0)
YCBT, ta có m = ± 1 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 - ( m + 1 ) x 2 + ( m 2 - 2 ) x - m 2 + 3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành?
A. 4
B. 1
C. 3
D. 2
Chọn đáp án C.
Ta có y ' = 3 x 2 - 2 ( m + 1 ) x + m 2 - 2
trước tiên ta phải có phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều kiện hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về một phía đối với trục hoành là y x 1 . y x 2 > 0
⇔ y = 0 có đúng một nghiệm thực.
Thử trực tiếp các giá trị của m∈{−1,0,1,2} nhận các giá trị m∈{−1,0,2} để y = 0 có đúng một nghiệm thực.