Chọn đáp án D.

Ta có A'A = A'B = A'C nên hình chiếu của A' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do tam giác ABC đều nên trọng tâm G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

AG là hình chiếu của A'A lên mặt phẳng (ABC)

Góc giữa A'A  với mặt phẳng (ABC) là:  A ' A G ^

Gọi H là trung điểm BC.

Ta có: 

Xét tam giác A'AG vuông tại G:

Diện tích tam giác đều ABC là:

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là: 

Đáp án là C

Ta có thể tích lăng trụ là 

Chọn B

Ta có  A ' G ⊥ A B C nên  A ' G ⊥ B C ;   B C ⊥ A M ⇒ B C ⊥ M A A '

Kẻ  M I ⊥ A A ' ;  B C ⊥ I M  nên  d A A ' ;   B C = I M = a 3 4

Kẻ  G H ⊥ A A ' , ta có 

Đáp án D

Ta có  d ( AA ' , B C ) = d ( A A ' , ( B B ' C ' C ) ) = d ( A ' , ( B B ' C ' C ) )

Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm BC và B’C’, G là trọng tâm của tam giác ABC

Theo giả thiết ta có B C ⊥ A M B C ⊥ A ' G ⇒ B C ⊥ ( A A ' G ) ⇒ B C ⊥ A A ' , nên tứ giác BB’C’C là hình chữ nhật có cạnh BC = a

Vì 

V A ' A B C = 1 3 A ' G . S Δ A B C = 1 3 V L T = a 3 3 12 ⇒ A ' G = a ⇒ A A ' = A G 2 + A ' G 2 = 2 a 3

Có

  V A ' B B ' C ' C = 2 3 V L T = a 3 3 6 = 1 3 d ( A ' , ( B B ' C ' C ) ) . S B B ' C ' C ⇒ d ( A ' , ( B B ' C ' C ) ) = 3 a 2

Đáp án D

Ta có d ( AA ' , B C ) = d ( A A ' , ( B B ' C ' C ) ) = d ( A ' , ( B B ' C ' C ) )

Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm BC và B’C’, G là trọng tâm của tam giác ABC

Theo giả thiết ta có B C ⊥ A M B C ⊥ A ' G ⇒ B C ⊥ ( A A ' G ) ⇒ B C ⊥ A A ' , nên tứ giác BB’C’C là hình chữ nhật có cạnh BC = a

Vì 

V A ' A B C = 1 3 A ' G . S Δ A B C = 1 3 V L T = a 3 3 12 ⇒ A ' G = a ⇒ A A ' = A G 2 + A ' G 2 = 2 a 3

⇒ S B B ' C ' C = 2 a 2 3

Có  V A ' B B ' C ' C = 2 3 V L T = a 3 3 6 = 1 3 d ( A ' , ( B B ' C ' C ) ) . S B B ' C ' C ⇒ d ( A ' , ( B B ' C ' C ) ) = 3 a 2

Chọn D

Đáp án C

Ta dễ dàng chứng minh được  A A ' / / B C C ' B '

⇒ d A A ' ; B C = d A A ' ; B C C ' B ' = d A ; B C C ' B '

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra A ' G ⊥ A B C .

Ta có   S Δ A B C = a 2 3 4

  ⇒ V A B C . A ' B ' C ' = A ' G . S Δ A B C ⇔ A ' G = V A B C . A ' B ' C ' S Δ A B C = a 3 3 4 : a 2 3 4 = a

Lại có

A M = a 3 2 ⇒ A G = 2 3 A M = a 3 3 ⇒ A A ' = A ' G 2 + A G 2 = 2 a 3 3

 Ta luôn có V A ' . A B C = 1 3 V A B C . A ' B ' C ' = 1 3 . a 3 3 4 = a 3 3 12 .

Mà V A B C . A ' B ' C ' = V A ' . A B C + V A ' . B C C ' B '  

⇒ V A ' . B C C ' B ' = V A B C . A ' B ' C ' − V A ' . A B C = a 3 3 4 − a 3 3 12 = a 3 3 6 .

Gọi M,M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Ta có B C ⊥ A M , B C ⊥ A ' G ⇒ B C ⊥ A M M ' A ' ⇒ B C ⊥ M M ' . Mà M M ' / / B B '  nên B C ⊥ B B ' ⇒ B C C ' B '  là hình chữ nhật

  ⇒ S B C C ' B ' = B B ' . B C = 2 a 3 3 . a = 2 a 2 3 3 .

 Từ

V A ' . B C C ' B ' = 1 3 d A ' ; B C C ' B ' . S B C C ' B ' ⇔ d A ' ; B C C ' B ' = 3 V A ' . B C C ' B ' S B C C ' B '  

⇒ d A ' ; B C C ' B ' = a 3 3 2 : 2 a 2 3 3 = 3 a 4 . Vậy d A A ' ; B C = 3 a 4 .

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của   A B ⇒ A ' H ⊥ A B C

Kẻ H K ⊥ A C    K ∈ A C  và   A ' H ⊥ A C ⇒ A C ⊥ A ' H K

Suy ra   A C C ' A ' ; A B C ^ = A ' K ; H K ^ = A ' K H ^ = 45 0

Tam giác A ' H K  VUÔNG TẠI H , CÓ   A ' K H ^ = 45 0 ⇒ A ' H = a 3 4

Vậy thể tích khối lăng trụ là  V = A ' H . S Δ A B C = a 3 4 . a 2 3 4 = 3 a 2 16

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì  B C ⊥ A ' G B C ⊥ A I ⇒ B C ⊥ A A ' I

Hạ  I H ⊥ A A ' ⇒ I H ⊥ B C

⇒ d A A ' ; B C = I H = a 3 4 A I = a 3 2 ⇒ A H = A I 2 − H I 2 = 3 a 4 A G = 2 3 A I = a 3 3 A ' G = A G . tan A ' A G = a 3 3 . H I A H = a 3 3 a 3 4 3 a 4 = a 3 V A B C . A ' B ' C ' = A ' G . S A B C = a 3 . a 2 3 4 = a 3 3 12