Bạn gọi như sau:
a1=7
a2=77
a3=777
......
a32=77777.....7777(gồm 32 số 7)
Đem chia cho 31 ta có 32 số số dư
R1;R2:R3;R4;....:R32 nhưng chỉ nhận 31 giá trị(0;1;2;3;4;5;6;.....;30) nên sẽ có 2 số dư trùng nhau
chẳng hạn Rm=Rn (Với m>n) thì am-an chia hết cho 31 (vì đồng dư),ta lại có
777..7(gồm m chữ số 7)-77...7(gồm n chữ số 7)=777...7(gồm m-n số 7)00....0(gồm n số 0)=777...7 nhân 10^n chia hết cho 31
vi 10^n và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau nên suy ra 777..7 chia hết cho 31 .
Vì bài này chỉ chứng minh chứ ko phải tìm số nhé :D 

nk nghĩ là số 222222222222 đó

đáp án là 2222222222223

222222222222

Xét dãy số: 1; 11; 111; 1111; ...; 111...1 (32 số 1)

Ta đã biết 1 số tự nhiên khi chia cho 31 chỉ có thể có 31 loại số dư là dư 0; 1; 2; ...; 30. Có 32 số mà chỉ có 31 loại số dư nên theo nguyên lí Đirichlet sẽ có ít nhất 2 số cùng dư

Hiệu của 2 số này chia hết cho 31 và chỉ gồm toàn chữ số 0 và 1 (đpcm)

11111111

111111111111 là đáp án ko tin bạn thứ tính đi

1.1111111e+13

Chọn dãy

1; 11; 111; ... ;111...1 (số cuối có 20 c/s 1)

Chắc chắn trong dãy có 2 số có cùng số dư khi chia cho 19

2 số đó là

111..1(a c/s 1); 11..1(b c/s 1)                   [1< a < b < 20]

=>111..1 - 11..1 chia hết cho 19                                         [b c/s 1 - a c/s 1]

=>111...100...0 chia hết cho 19                                          [b - a c/s 1 ; a c/s 0]

=>11..1 x 10^a chia hết cho 19                                             [b-a c/s 1]

Mà (19;10)=1 =>(19;10^a)=1

=> 111..1 chia hết cho 19 với b-a c/s 1

Câu 3

Giả Sử: k = 4n

=>19⁴ⁿ - 1 = (...1) - 1 = (...0) chia hết cho 10

Vậy có thể tìm đc 1 STN k chia hết cho 10

xét dãy : 19¹,19²,...,19¹¹

các số tự nhiên khi chia cho 10 có 10 ước là: 0,1,2,..,9

Mà dãy số trên có 11 số nên tồn tại ít nhất 2 số tn có cùng số dư khi chia cho 10

gọi 2 số đó là:  19^m và 19ⁿ

(11>m>n>1 m,n=1)

19^m-19ⁿ chia hết cho 10

19ⁿ.(19^m-n -1) chia hết cho 10

mà (10,19)=1 (19ⁿ,10)=1

19^m-n-1 chia hết cho 10

19^k-1 chia hết cho 10 (k=m-n)

19^k-1 chia hết cho 10q

vậy tồn tại 1 số tn k sao cho 19^k-1 chia hết cho 10

Chọn bộ 13 số sau:
1,11,...111111 (13 chữ số 1)
Đem chia 13 số trên cho 12.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 111..111 (m chữ số 2) và 111.111 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 13
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 12 nên
[111.111 (m chữ số 2) - 111.111 (n chữ số 2)] chia hết cho 12
=>111.11100...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 12
hay 111.111(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 12
=>111.111 (m-n chữ số 2) chia hết cho 12
=> đpcm.

bội  của 13 chứ k phải bội của 31 đâu :

nếu bội của 13 thì mk giải nè :
cho dãy 7;77;7777;....;7777....777777 ( chữ số cuối có 15 chữ số 7 )

chắc chắn trong dãy có cùng số dư khi chia cho 13 

2 chữ số đó là : 77...777 ( a chữ số 7 ) và 777...7 ( b chữ số 7 ) ( 1< hoặc = a < hoặc = b < hoặc = 15 )

=> 77...777 - 777...7 chia hết cho 13

=> 777...70 ....0 chia hết chp 13

=> 777....7 . 10 ^a chia hết chp 13

mà (13;10) => (13;10^a) =1

=> 777...7 chia hết cho 13 vs b-a chữ số 

Vậy điều phải chưng minh 

Xét 32 số : 7 ; 77 ; 777 ; ... ; 777...7 (32 c.số 7)

Ta có cứ 31 số bất kì ở dãy số trên khi chia cho 7 sẽ có 31 số dư. Theo nguyên lý Diricle(ko bt viết) thì sẽ có 2 số cùng số dư và hiệu của chúng sẽ chia hết cho 31

Xét 2 số 777...7(a c.số 7) - 777...7(b c.số 7) = 777...7000...0 = 777...7 x 1000...0

Mà 100...0 không chia hết cho 31 => 777...7 chia hết cho 31

Vậy sẽ luôn có 1 số gồm toàn c.số 7 là bội của 31