Ta có: 

Ta có thể ghép ba miếng bìa  lại với nhau để được 2/3 hình tròn

Ta có: 

Ta có thể ghép hai miếng bìa  lại với nhau để được 1/2 hình tròn.

Ta có: 

Ta có thể ghép hai miếng bìa 1/18 và 3/18 lại với nhau để được 2/9 hình tròn.

Ta có: 

Ta có thể ghép ba miếng bìa 1/18 và 6/18 và 8/18 lại với nhau để được 5/6 hình tròn.

Ta có: 

Ta có thể ghép hai miếng bìa  lại với nhau để được 5/9 hình tròn.

Ta có: 

Ta có thể ghép hai miếng bìa 1/18 và 6/18 lại với nhau để được 7/18 hình tròn.

Ta có: 

Ta có thể ghép ba miếng bìa  lại với nhau để được 17/18 hình tròn.

Ta có: 

Ghép tất cả các miếng lại với nhau để được 18/18 hình tròn

a) Ta có: PA = PB (A; B nằm trên cung tròn tâm P) nên P nằm trên đường trung trực của AB.

CA = CB (C nằm trên 2 cung tròn tâm A, B bán kính bằng nhau) nên C nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy CP là đường trung trực của AB, suy ra PC ⊥ d.

b) Một cách vẽ khác

- Lấy hai điểm A, B bất kì trên d.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP, cung tròn tâm B bán kính BP. Hai cung tròn cắt nhau tại C (C khác P).

- Vẽ đường thẳng PC. Khi đó PC là đường đi qua P và vuông góc với d.

Chứng minh :

- Theo định lí 2 :

PA = CA ( P,C cùng thuộc cung tròn tâm A bán kính PA)

⇒ A thuộc đường trung trực của PC.

PB = CB (P, C cùng thuộc cung tròn tâm B bán kính PB)

⇒ B thuộc đường trung trực của PC.

⇒ AB là đường trung trực của PC

⇒ PC ⏊ AB hay PC ⏊ d.

Tóm tắt:

ST = d; SM = 1/4d; Bìa có bán kính R

a) Tìm R’

b) MM₁ = ? để R’’ = ½ R’. Tìm v’ của bóng đen nếu đèn có vận tốc v

c) thay S bằng nguồn sáng có bán kính r. Tìm S_đen và S_{nửa tối}.

Bài giải

Ta có hình vẽ

a) Bán kính vùng tối trên tường là PT

∆SIM và ∆SPT là 2 tam giác vuông đồng dạng  nên 

a) Bán kính vùng tối trên tường là PT

∆SIM và ∆SPT là 2 tam giác vuông đồng dạng nên 

⇒ I M P T = S M S T ⇔ P T = S T S M . I M = d 1 / 4 d . R = 4 R

b) Từ hình vẽ ta thấy để bán kính vùng tối giảm xuống  ta phải di chuyển tấm bìa về phía tường.

Gọi P₁T là bán kính bóng đen lúc này P₁T = 1/2PT = 2R

∆SIM và ∆SPT là 2 tam giác vuông đồng dạng nên 

Vậy cần di chuyển tấm bìa về phía tường một đoạn

M₁M = SM₁ - SM= 1 2 d - 1 4 d = 1 4 d

Khi tấm bìa di chuyển  đều với vận tốc v và đi được quãng đường M₁M = 1/4d thì mất thời gian  t = M 1 M v = d 4 v

Cũng trong khoảng thời gian đó bán kính của vùng tối thay đổi một đoạn là

PP₁ = PT – P₁T = 4R – 2R = 2R

Vậy tốc độ thay đổi của bán kính vùng tối là  P 1 P t = 2 R d 4 v = 8 R v d

c) Thay điểm sáng S bằng nguồn sáng hình cầu. Ta có hình vẽ

Gọi AB là đường kính nguồn sáng, O là tâm nguồn sáng. Theo kết quả câu b) M là trung điểm của ST.

Bán kính vùng tối là PT, ta có ∆BIC =  ∆ PID (g.c.g) => PD = BC.

Mà ta lại có BC = OC – OB = MI – OB = R-r.

                  PT = PD + DT = BC + IM = (R-r) + R = 2R – r

Vậy diện tích vùng tối trên tường là: S_Tối = π.(2R – r)²

Vùng nửa tối là diện tích hình vành khăn  có bán kính lớn là P’T, bán kính nhỏ là PT

Ta có: ∆ AIC = ∆P’ID (g.c.g)  ⇒ P’D = AC = R+r

Mà: P’T = P’D + IM = AC + IM = R+r + R = 2R+r

Từ đó ta có: Diện tích vùng nửa tối là:

S_{Nửa tối} = π.(2R + r)² -  π.(2R - r)² =  8πRr 

Đáp án A.

Gọi hình nón tạo thành có bán kính là r

Chu vi đáy là 

chu vi của hình tròn đầu)

=> r = R/3

Hình nón có đường sinh là R => Chiều cao 

Thể tích khối nón tạo thành là 

Đáp án A.

Gọi hình nón tạo thành có bán kính là r

Chu vi đáy là 2 π r = 1 3 .2 π R  (bằng 1 3  chu vi của hình tròn đầu) ⇒ r = 1 3 R

Hình nón có đường sinh là R => Chiều cao

h = R 2 − r 2 = R 2 − R 2 9 = 2 R 2 3  

Thể tích khối nón tạo thành là

V = 1 3 π r 2 h = 1 3 . π . R 2 9 . 2 R 2 3 = 2 R 3 π 2 81