Biết z = a + b i a , b ∈ ℝ là số phức thỏa mãn 3 - 2 i z - 2 i z - = 15 - 8 i . Tổng a+b là
A. a+b=5
B. a+b=-1
C. a+b=9
D. a+b=1
Cho hai số phức z 1 = 7 + 9 i và z 2 = 8 i . Gọi z = a + b i a , b ∈ ℝ là số phức thỏa mãn z − 1 − i = 5 . Tìm a+b, biết biểu thức P = z − z 1 + 2 z − z 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. ‒3
B. ‒7
C. 3
D. 7
Cho hai số phức z 1 = 7 + 9 i và z 2 = 8 i . Gọi z = a + b i a , b ∈ ℝ là số phức thỏa mãn z − 1 − i = 5 . Tìm a + b , biết biểu thức P = z − z 1 + 2 z − z 2 đạt giá trị nhỏ nhất
A. ‒3
B. ‒7
C. 3
D. 7
Đáp án D.
Gọi M a ; b là điểm biểu diễn số phức z = a + b i . Đặt I = 1 ; 1 , A 7 ; 9 và B 0 ; 8
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn C có tâm I, bán kính R = 5 sao cho biểu thức P = M A + 2 M B đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm K x ; y sao cho M A = 2 M K ∀ M ∈ C .
Ta có
M A = 2 M K ⇔ M A 2 = 4 M K 2 ⇔ M I → + I A → 2 = 4 M I → + I K → 2
⇔ M I 2 + I A 2 + 2 M I → . I A → = 4 M I 2 + I K 2 + 2 M I → . I K →
⇔ 2 M I → I A → − 4 I K → = 3 R 2 + 4 I K 2 − I A 2 *
(*) luôn đúng ∀ M ∈ C ⇔ I A → − 4 I K → = 0 → 3 R 2 + 4 I K 2 − I A 2 = 0 .
I A → − 4 I K → = 0 → ⇔ 4 x − 1 = 6 4 y − 1 = 8 ⇔ x = 5 2 y = 3
Thử trực tiếp ta thấy K 5 2 ; 3 thỏa mãn 3 R 2 + 4 I K 2 − I A 2 = 0 .
Ta cos M A + 2 M B = 2 M K + 2 M B = 2 M K + M B ≥ 2 K B .
Vì B I 2 = 1 2 + 7 2 = 50 > R 2 = 25 nên B nằm ngoài (C).
Vì K I 2 = 3 2 2 + 2 2 < R 2 = 25 nên K nằm trong (C) .
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó M A + 2 M B nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.
Phương trình đường thẳng B K : 2 x + y − 8 = 0 .
Phương trình đường tròn C : x − 1 2 + y − 1 2 = 25 .
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
2 x + y = 8 x − 1 2 + y − 1 2 = 25 ⇔ x = 1 y = 6
hoặc x = 5 y = − 2 .
Thử lại thấy M 1 ; 6 thuộc đoạn BK.
Vậy a = 1, b = 6 ⇒ a + b = 7 .
Biết phương trình z 2 + a z + b = 0 ( a , b ∈ ℝ ) có một nghiệm là: z=-2+i. Tính a-b.
A. 9
B. 1
C. 4
D. -1
Đáp án D
Thay z=-2+i vào phương trình ta được:
Vậy a-b=4-5=-1
Cách khác. Nghiệm liên hợp của nghiệm z 1 = - 2 + i là z 2 = - 2 - i
Ta có nên z 1 , z 2 là nghiệm của phương trình
Do đó suy ra
Biết phương trình z 2 + a z + b = 0 ( a , b ∈ ℝ ) có một nghiệm là z=-2+i. Tính a+b
A. 9
B. 1
C. 4
D. -1
Biết phương trình z 2 + a z + b = 0 ( a , b ∈ ℝ ) có một nghiệm là z = -2 + i. Tính a + b
A. 9.
B. 1.
C. 4
D. -1
Số phức z = a + b i ( a , b ∈ ℝ ) thỏa mãn z - 2 = z và ( z + i ) ( z ¯ - i ) là số thực.
Giá trị của biểu thức S=a+2b bằng bao nhiêu?
A. S=-1
B. S=1
C. S=0
D. S=-3
Đáp án D
Phương pháp giải:
Đặt z=a+bi thực hiện yêu cầu bài toán, chú ý số phức là số thực khi phần ảo bằng 0
Lời giải:
Ta có
Khi đó
Khi và chỉ khi b + 2 = 0 ⇔ b = - 2
Vậy S=a+2b= -3
Cho số phức z = a+bi(a,b ϵ ℝ) thỏa mãn |z|=5z và z(2+i)(1-2i) là một số thực. Tính giá trị P=|a|+|b|
A.P=8
B.P=4
C.P=5
D. P=7
Cho số phức z = a + bi (a,b ∈ ℝ ) thỏa mãn z - 1 z - i v à z - 3 i z + i . Tính P = a + b.
A. P = 7
B. P = -1
C. P = 1
D. P = 2
Gọi số phức z = a + bi(a,b ∈ ℝ ) thỏa mãn |z-1| = 1 và (1+i)( z ¯ -1) có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực. Khi đó a, b bằng
A. a.b = 1
B. a.b = 2
C. a.b = -2
D. a.b = -1
Đáp án A
Ta có
Số phức có phần số thực bằng
a + b - 1 = 1(2)
Từ (1), (2) suy ra: