\(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}=\dfrac{x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}{xyz}=\dfrac{-3xyz}{xyz}=-3\)

đề cho xy+yz+xz=0 nhân cả 2 vế với -z

=>-xyz-\(z^2\left(y+x\right)\)=0

=>-xyz=\(z^2x+z^2y\)

cmtt bạn nhân với -y và -z

=>-3xyz=\(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2\)

\(0=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=0\)

\(\Rightarrow x=y=z=0\)

\(P=\left(-1\right)^{2003}+0^{2004}+1^{2005}=0\)

Ta có :x + y + z = -1 \(\Rightarrow\)x + y =-( 1 + z )

 xy + yz + xz = 0 \(\Rightarrow\)xy = - z ( x + y ) = z ( z + 1 )

Tương tự : xz = y ( y + 1 ) ; yz = x . ( x + 1 )

\(M=\frac{z\left(z+1\right)}{z}+\frac{y\left(y+1\right)}{y}+\frac{x\left(x+1\right)}{x}=x+y+z+3=2\)

\(A=\sqrt{xy}\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\sqrt{yz}\)

\(A\le\frac{xy+xz+yz+xy+xz+yz}{2}=xy+yz+zx\)

\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

=> \(A\le\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\Rightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=0\Rightarrow x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(N=\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\frac{3xyz}{xyz}=3\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số \(\frac{xy}{z};\frac{yz}{x}\)dương ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)(1)

Tương tự. \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}}=2\sqrt{z^2}=2z\) (2);

\(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{zx}{y}}=2\sqrt{x^2}=2x\)(3)

Cộng từng vế của (1)(2)(3) ta được \(2.\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)=2\Rightarrow P\ge1\)

Vậy Min P = 1 tại x= y = z = 1/3

k cho minh nha

giúp mình với

bạn giải ra giúp mình với