1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

Vì n nhân với số nào cũng chia hết cho n nên với mọi n thuộc Z, A = n.(5n+3) chia hết cho n

ta co:n.(a+b)chia het cho n

suy ra: n.(5.n+3) chia het cho n(dpcm)

Vì n ⋮ n ⇒ A= n.(5n+3) ⋮ n

Ta có: n²+n-16=n(n+1)-16

Mà n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên không thể có CSTC là 6;1

=>n(n+1)-16 không thể có chữ số tận cùng là 0;5

=>n(n+1)-16 không thể chia hết cho 5

=>n(n+1)-16 không thể chia hết cho 5²=25(đpcm)

Chia 2 trường hợp là n = 2k hoặc n = 2k+1

n³-n=n(n²-1)=n(n-1)(n+1)

Do n;n+1;n-1 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó tồn tại 1 số chia hết chio 2 và 1 số chia hết cho 3

=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 6