a) AB = 2 (cm) còn nói là ..(4)..A và B bằng 2(cm) hoặc nói là ..(3)..AB bằng 2 (cm) hoặc A ..(5)..B một khoảng bằng 2 (cm)

b) Hai điểm A và B trùng nhau còn nói là ..(4)..A và B bằng ..(2)..hoặc A ..(5)..B một khoảng bằng ..(2)..hoặc ..(3)..AB bằng ..(2)..

c) AB = 0 còn nói là ..(4)..A và B bằng ..(2)..hoặc hai điểm A và B ..(1)..hoặc ..(3)..AB bằng ..(2)..hoặc A ..(5)..B một khoảng bằng ..(2)..

Ta co:

\(\frac{1}{a+b^2}+\frac{1}{a^2+b}=\frac{1}{\frac{a^2}{a}+b^2}+\frac{1}{a^2+\frac{b^2}{b}}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{a+1}}+\text{ }\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{b+1}}=\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\)

Ta di chung minh:

\(\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\le1\)

Dat \(t=a+b\left(t\ge2\right)\)

BDT can chung minh la:

\(\frac{t+2}{t^2}\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge0\left(True\right)\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=1\)

Ta có:\(\frac{1}{a+b^2}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}\)( áp dụng bất đẳng thức coossi cho a và b^2 rồi nghịch đảo)

\(\frac{1}{b^2+a}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}\)

Do đó: \(\frac{1}{a+b^2}+\frac{1}{b+a^2}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}+\frac{1}{2a\sqrt{b}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2ab}=\frac{\sqrt{a}.1+\sqrt{b}.1}{2ab}\)

\(\le\frac{\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}}{2ab}=\frac{a+b+2}{4ab}\)( áp dụng bất đẳng thức cosi cho \(\sqrt{a}.1\)và \(\sqrt{b}.1\))

\(\le\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{a+b}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

\(=\frac{1}{a+b}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\le\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1\)( do a+b\(\ge\)2 nên \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{2}\)và \(\left(a+b\right)^2\ge4\)nên  \(\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\le\frac{2}{4}\))

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1