Ta có: \(\left(a+1\right)^2=\left(a+1\right)\left(a+1\right)=a^2+2a+1\)

Theo bài ra ta có: \(a^2+2a+1\ge4a\)

Ta phải chứng minh: \(a^2+1\ge2a\)

=>\(a^2-a+1\ge a\)

=> \(a.\left(a-1\right)+1>a\)

=> \(a.\left(a-1\right)\ge a-1\)

Với a=0 và a=1 thì ta sẽ đc giá trị tương ứng \(a.\left(a-1\right)=a-1\)

Còn với \(a\ne0;1\)thì a.(a-1) > a-1

Xét hiệu \(\left(a+1\right)^2-4a\)

\(=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1\)

\(=\left(a-1\right)^2\ge0\)( Mình không chắc câu này )

Đề sai à, giả sử \(a>1\Rightarrow\frac{a+1}{a}< 2\)

Áp dụng BĐT Cô-si a²+b²>=2ab, ta đc:

x^2+y^2>=2.x.y=2xy

x^2+1>=2.x.1=2x

y^2+1>=2.y.1=2y

Cộng vế theo vế ba BĐT trên, ta đc: x^2+y^2+x^2+1+y^2+1>=2xy+2x+2y

(=) 2(x^2+y^2+1)>=2(xy+x+y)

(=)x^2+y^2+1>=xy+x+y.

Ta có : x^2 + y^2 +1 >= xy +x +y

   <=> 2(x^2+y^2 +1) >=2 ( xy+x+y)     (*nhân 2 vào cả 2 vế)

    <=> 2x^2+2y^2+2 >= 2xy+2x+2y

   <=> 2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y >= 0

    <=> x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1 >=0

<=> (x-y)^2 + ( x-1)^2 +(y-1)^2 >= 0

+ Với x,y thì  (x-y)^2 >= 0;(x-1)^2>=0;(y-1)^2>=0 nên ...(ghi lại dòng trên) 

Vậy : x^2 +y^2+1 >= xy+x+y

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

<=>  \(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

<=>  \(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

<=>  \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2\ge0\)  luôn đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Mình không biết làm.

\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si ,ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)

Vậy ta được đpcm

ta có:

\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)

Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha 

Ta có

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Dấu ''='' xảy ra <=>\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0<=>\sqrt{a}=\sqrt{b}<=>a=b\)

Tick cho tui nha,bạn hiền

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

tick mik nữa nha bn hiền

a^2 + b^2 >= ab 
<=> a^2 + b^2 -ab >= 0 
<=> a^2 - ab + (1/4)b^2 + (3/4)b^2 >= 0 
<=> {a - (1/2)b}^2 + (3/4)b^2 >=0 
{a - (1/2)b}^2 luôn >= 0 
(3/4)b^2 luôn >=0 ==> a^2+b^2 luôn >=0

Bài toán của bạn đưa về giải bất đẳng thức 
a^2 + b^2 >= ab 
<=> a^2 + b^2 -ab >= 0 
<=> a^2 - ab + (1/4)b^2 + (3/4)b^2 >= 0 
<=> {a - (1/2)b}^2 + (3/4)b^2 >=0 
{a - (1/2)b}^2 luôn >= 0 
(3/4)b^2 luôn >=0 ==> a^2+b^2 luôn >=0 
* Lưu ý: ab = 2.(1/2).ab 
b^2 = (1/4).b^2 + (3/4).b^2

\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)

b ) chuyển vế tương tự