\(\frac{x+2y}{x+7}=\frac{2018}{2017}\)

\(2017\left(x+2y\right)=2018\left(x+y\right)\)

\(2017x+4034y=2018x+2018y\)

\(x=2016y\)

x,y nguyên dương nên x nhỏ nhất khi y = 1 

Khi đó x =...

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}=\frac{a-b+b-c-a+c}{x+y-z}=\frac{0}{x+y-z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{x}=0\Leftrightarrow a-b=0\Leftrightarrow a=b\)

\(\frac{b-c}{y}=0\Leftrightarrow b-c=0\Leftrightarrow b=c\)

\(\frac{a-c}{z}=0\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)

\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)

Áp dụng TCDTSBN ta có :

\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}=\frac{\left(a-b\right)+\left(b-c\right)-\left(a-c\right)}{x+y-z}=\frac{0}{x+y-z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{x}=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\) (1)

\(\Rightarrow\frac{b-c}{y}=0\Rightarrow b-c=0\Rightarrow b=c\) (2)

\(\Rightarrow\frac{a-c}{z}=0\Rightarrow a-c=0\Rightarrow a=c\) (3)

Từ (1);(2) và (3) \(\Rightarrow a=b=c\) (đpcm)

Câu 1: xy + x - y = 4

<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3

<=> x(y+1) - (y + 1) = 3

<=> (y + 1) (x - 1) = 3

Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y => Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.

Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)

* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)

Vậy x = y = 2.

Câu 2:

Ta có:

 (a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z =(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0

Vì x; y; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c

 \(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{c-a}{z}\)

Tham khảo câu hỏi tương tự  : https://olm.vn/hoi-dap/detail/2739228605.html

a

Nếu  \(y=0\Rightarrow x^2=3025\Rightarrow x=55\)

Nếu \(y>0\Rightarrow3^y⋮3\)

Mà \(3026\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv2\left(mod3\right)\) 9 vô lý

Vậy.....

b

Không mất tính tổng quát giả sử \(x\ge y\)

Ta có:

\(\frac{1}{2}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{xy}\le\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\frac{y+1}{y^2}\)

\(\Rightarrow y^2\le2y+2\Rightarrow\left(y^2-2y+1\right)\le3\Rightarrow\left(y-1\right)^2\le3\Rightarrow y\le2\Rightarrow y=1;y=2\)

Với \(y=1\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{x}=0\) ( loại )

Với \(y=2\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=4\)

Vậy x=4;y=2 và các hoán vị

câu a làm cách khác đi bạn

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)

<=> \(\frac{y+x}{xy}=\frac{1}{2}\)

<=> \(2x+2y=xy\)

<=> \(2x-xy+2y=0\)

<=> \(x\left(2-y\right)+2y-4+4=0\)

<=> \(x\left(2-y\right)-2\left(2-y\right)=-4\)

<=>\(\left(x-2\right)\left(2-y\right)=-4\)

x;y duong nen ta co x-2 va 2-y la cac uoc cua -4

Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{2x+2y}{2xy}=\frac{xy}{2xy}\Rightarrow2x+2y=xy\)

\(\Rightarrow2y-xy=-2x\)

\(\Rightarrow y\left(2-x\right)=-2x\)

\(\Rightarrow y=-\frac{2x}{2-x}\)

\(\Rightarrow y=\frac{2x}{x-2}\)

\(\Rightarrow y=\frac{2x-4+4}{x-2}\)

\(\Rightarrow y=\frac{2\left(x-2\right)+4}{x-2}\)

\(\Rightarrow y=2+\frac{4}{x-2}\)

Vì y là số nguyên dương nên \(2+\frac{4}{x-2}\) dương 

\(\Rightarrow\frac{4}{x-2}\) dương \(\Rightarrow x-2\in\text{Ư}\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)

\(x-2=1=>x=3\left(tm\right)\)

\(x-2=2=>x=0\left(lo\text{ại}\right)\)

\(x-2=4=>x=6\left(tm\right)\)

* Với \(x=3\Rightarrow y=2+\frac{4}{3-2}=2+4=6\left(tm\right)\)

*Với \(x=6=>y=2+\frac{4}{6-2}=2+1=3\left(tm\right)\)

Vậy các cặp số nguyên dương \(\left(x;y\right)\) cần tìm là  \(\left(3;6\right);\left(6;3\right)\)