Bài 21: Tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. I là trung điểm của AC, D là điểm đối xứng của M qua I, K là điểm đối xứng của D qua C
a)Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành. b/ Gọi O là trung điểm của MC. Chứng minh A, O, K thẳng hàng. c/ Tìm thêm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCD là hình vuôn
a: Xét tứ giác AMCD có
I là trung điểm của AC
I là trung điểm của MD
Do đó: AMCD là hình bình hành
Suy ra: AD//MC và AD=MC
=>AD//MB và AD=MB
hay ABMD là hình bình hành
Cho tam giác ABC vuông cân tại A , đường trung tuyến AM . Gọi N là điểm đối xứng của A qua M.
a) C/m ABNC là hình vuông.
b) Trên cạnh AB lấy E, trên cạnh AC lấy D sao cho AE=AD. C/m EBCD là hình thang cân.
c) Kẻ AK và DL lần lượt vuông góc với CE ( K và L thuộc BC). Kẻ BI//AK ( I thuộc AC). C/m rằng L đối xứng với B qua K
cho tam giác ABC cân tại A . AM là đường cao , I là trung điểm AC , K đối xứng M qua I
a,AMCK là hcn
b , cho O là trung điểm AM . Chứng minh O là trung điểm BK
a: Xét tứ giác AMCK có
I là trung điểm chung của AC và MK
góc AMC=90 độ
Do đó: AMCK là hình chữ nhật
b: Xét tứ giác ABMK có
AK//MB
AK=MB
Do đó; ABMK là hình bình hành
=>AM cắt BK tại trung điểm của mỗi đường
=>O la trung điểm của BK
cho tam giác ABC cân tại A . AM là đường cao , I là trung điểm AC , K đối xứng M qua I
a,AMCK là hcn
b , cho O là trung điểm AM . Chứng minh O là trung điểm BK
a: Xét tứ giác AMCK có
I là trung điểm chung của AC và MK
góc AMC=90 độ
Do đó: AMCK là hình chữ nhật
b: Xét tứ giác ABMK có
AK//MB
AK=MB
Do đó; ABMK là hình bình hành
=>AM cắt BK tại trung điểm của mỗi đường
=>O la trung điểm của BK
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, I là trung điểm AC, K là trung điểm AB, E là trung điểm AM. Gọi N là điểm đối xứng của M qua I a) tứ giác AKMI là hình gì? Vì sao? b) chứng minh E là trung điểm BN
a: Xét tứ giác AKMI có
MI//AK
MK//AI
Do đó: AKMI là hình bình hành
mà AK=AI
nên AKMI là hình thoi
Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM ,F là trung điểm AC,E là trung điểm AB ,O là trung điểm AM . a) C/m tứ giác AEMF là hình thoi b) Gọi N giao điểm đối xứng Của M qua E tứ giác AMBN ,BEFC là hình gì Vì sao? C) c/m O là trung điểm NC d) Tìm đk của tam giác ABC để tứ giác AEMF là hình vuông?
a) Do tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM là đường cao.
Xét tam giác vuông ABM có ME là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(EA=EM\)
Tương tự FM = FA
Lại có tam giác ABC cân tại A nên AB = AC hay AE = AF. Suy ra AE = EM = MF = FA hay AEMF là hình thoi.
b) Xét tứ giác AMBN có EA = EB; EM = EN nên AMBN là hình bình hành.
Lại có \(\widehat{AMB}=90^o\Rightarrow\) AMBN là hình chữ nhật.
Xét tam giác ABC có E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC nên EF là đường trung bình của tam giác.
Hay EF // BC
Vậy BEFC là hình thang. Lại có \(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\) nên BEFC là hình thang cân.
c) Do AMBN là hình chữ nhật nên NA song song và bằng BM. Suy ra NA cũng song song và bằng MC.
Xét tam giác ANMC có AN song song và bằng MC nên NACM là hình bình hành.
Vậy AM và NC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do O là trung điểm AM nên O là trung điểm NC.
d) Tứ giác AEMF là hình thoi. Để nó là hình vuông thì \(\widehat{EAF}=90^o\) hay tam giác ABC vuông cân tại A.
Bài 21: Tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. I là trung điểm của AC, D là điểm đối xứng của M qua I, K là điểm đối xứng của D qua C. a/ Chứng minh tứ giác AMCD là hình chữ nhật. b/ Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành. c/ Gọi O là trung điểm của MC. Chứng minh A, O, K thẳng hàng. d/ Tìm thêm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCD là hình vuông.
a: Xét tứ giác AMCD có
I là trung điểm của AC
I là trung điểm của MD
Do đó: AMCD là hình bình hành
mà \(\widehat{AMC}=90^0\)
nên AMCD là hình chữ nhật
- Cho tam giác ABC cân tại B, AC = 10 cm, I là trung điểm của AC. Qua I kẻ IN // AB, IM // BC (N thuộc BC, M thuộc AB)
a) Chứng minh MN // AC. Tính MN?
b) Tứ giác AMNC, IMBN là hình gì? Vì sao
c) MN cắt BI tại O. Gọi K là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh A, O, K thẳng hàng
- Rút gọn: 1:(1+căn 2) + 1:(căn 2 + căn 3)+........+1(căn 99+ căn 100)
Bài 1 : Bạn tự vẽ hinh
a,
I là trung điểm AC và IN//AB nên IN là đường trung bình trong tam giác ABC
Suy ra N là trung điểm BC
I là trung điểm AC và IM//BC nên IM là đường trung bình trong tam giác ABC
Suy ra M là trung điểm BA
Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AC và MN=1/2 AC=5 (cm)
b,
MN// AC nên AMNC là hình thang
Mặt khác AM=1/2AB=1/2BC=CN
MN<AC nên AMNC là hình thang cân
IN //AB hay IN//BM
IM//BC hay IM//BN nên IMBN là hình bình hành
Mặt khác ABC cân tại B nên BI vuông góc với AC hay BI vuông góc với MN
Do đó IMBN là hình thoi
c,
IMBN là hình thoi nên O là trung điểm IB và MN
Tứ giác BICK có hai đường chéo BC và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên BICK là hình bình hành
Do đó BK//IC//AI và BK=IC=IA
hay ABKI là hình bình hành
O là trung điểm của BI nên O cũng là trung điểm AK
Do vậy A,O,K thẳng hàng
a) Ta có I là trung điểm AC; IN//AB
=> IN là đường trung bình \(\Delta\)ABC
=> N là trung điểm BC
Cmtt: M là trung điểm AB
=> MN là đường trung bình \(\Delta\)ABC
=> MN//AC và \(MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot10=5\left(cm\right)\)
b) Tứ giác AMNC có: MN//AC
=> Tứ giác AMNC là hình thang
Lại có: \(AM=\frac{1}{2}AB\)(do M là trung điểm AB)
\(AN=\frac{1}{2}CB\)(Do N là trung điểm AC)
\(AB=\frac{1}{2}CB\)(do \(\Delta\)ABC cân tại B)
=> AMNC là hình thang cân
Tứ giác IMBN có: IM//BN và IN//BM
=> Tứ giác IMBN là hình bình hành
Lại có MB=BN\(\left(=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC\right)\)
=> IMBN là hình thoi
c) N là trung điểm IK và O là trung điểm BI
=> ON là đường trung bình của \(\Delta\)IBK
=> ON//BK và ON//AI
=> BK//AI
IN//AB => IK//AB
=> Tứ giác ABKI là hình bình hành
Có D là trung điểm BI
=> O là trung điểm của AK
=> O;A;K thẳng hàng
Bài 2 :
ÁP dụng
\(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)}{x+1-x}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\)
Ta có :
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
\(=\sqrt{100}-1=9\)
Bai 2. Cho ABC là tam giác vuông cân tại A, trung tuyến AM. Gọi K là điểm đối xứng của M qua AC, H là điểm đối xứng của M qua AB
a) Các tứ giác AMCK, AMBH là hình gì? Tại sao?
b) Gọi I là trung điểm của AC, F là trung điểm của AB và MH. Chứng minh rằng tứ giác AIMF là hình vuông
