cho đường tron ( O ) đường kinh AB . C là một điểm cố định trên OA . M là một điểm di động trên đường tròn (O ) sao cho đường thẳng vuông góc với MC tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) tại D và E
a/CMR \(\frac{1}{CM^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{CE^2}\)
b/Khi M di động trên đường tròn tâm O thì AD.BE không đổi .
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 đường thẳng cắt đường tròn (O) tại các điểm B,C và D,F tương ứng( B nằm giữa A và C, D nằm giữa A và E). Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 F. Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 G. 2 đường thẳng EG và BC cắt nhau tại điểm M. CMR:
a)AM2=MG.ME
b)ΔMGB∼ΔMCE
c)\(\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)
a) Do DF // AC nên \(\widehat{MAG}=\widehat{GFD}\) (Hai góc so le trong) .
Lại có \(\widehat{GFD}=\widehat{GED}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung GD)
Nên \(\widehat{MAG}=\widehat{GED}\)
Xét tam giác AMG và tam giác EMA có:
\(\widehat{MAG}=\widehat{MEA}\) (cmt)
Góc M chung
Vậy nên \(\Delta AMG\sim\Delta EMA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{MA}{ME}=\frac{MG}{MA}\Rightarrow MA^2=MG.ME\)
b) Do tứ giác ECBG nội tiếp nên \(\widehat{BCE}=\widehat{BGM}\) (Góc ngoài tại đỉnh đối của tứ giác nội tiếp)
Vậy xét tam giác MGB và MCE có:
\(\widehat{BGM}=\widehat{ECM}\left(cmt\right)\)
Góc M chung
Vậy nên \(\Delta MGB\sim\Delta MCE\left(g-g\right)\)
c) Theo câu a, ta có \(AM^2=MG.ME\)
Theo câu b, \(\Delta MGB\sim\Delta MCE\Rightarrow\frac{MG}{MC}=\frac{MB}{ME}\Rightarrow MG.ME=MB.MC\)
Vậy nên \(MA^2=MB.MC\)
Suy ra \(MA^2+MA.MC=MB.MC+MA.MC\)
\(\Leftrightarrow MA\left(MA+MC\right)=MC\left(MB+MA\right)\)
\(\Leftrightarrow MA.AC=MC.AB\)
\(\Leftrightarrow AB\left(AC-AM\right)=MA.AC\)
\(\Leftrightarrow AB.AC-AB.AM=AM.AC\)
\(\Leftrightarrow AB.AC=AM\left(AB+AC\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AM}=\frac{AB+AC}{AB.AC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\left(đpcm\right)\)
1 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . D là một điểm tùy ý trên cạnh
BC, tia AD cắt đường tròn (O) ở E.
Chứng minh:
a) Góc AEC = góc ACB
b) Tam giác AEC đồng dạng với tam giác ACD
2 .
Cho đường tròn (O;R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn
a) Cm M,E,O,F thuộc 1 đường tròn
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Cm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF
c) Kẻ đường kính ED. Hạ FK vuông góc vói ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Cm P là trung điểm của FK
\(P=1-\left(\frac{x+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2-x}{x+\sqrt{x}}\right)\) với x khác 1 , x>0
cho 2 đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A và B. Dây AE của đường ròn O1 tiếp xúc với đường tròn O2 . Dây AF của đường tròn O2 tiếp xúc với đường tròn O1 .
CM:
\(\frac{BE^2}{BF}=\frac{ÀE^2}{AF^2}\)
b) gọi c là điểm đối xứng của A qua B CM: EB.FC=EC.FB
c) tứ giác AECF nội tiếp
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), lấy điểm M khác điểm A. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MC của đường tròn (O) (C là tiếp điểm). MB cắt đường tròn (O) tại D (D khác B). Gọi H là giao điểm của OM và AC.
a) Chứng minh góc ABH = góc CAD.
b) Gọi N là giao điểm của AC và BD. Chứng minh \(\frac{1}{MD}+\frac{1}{MB}=\frac{2}{MN}.\)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ dây BC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O'). Vẽ dây BD của đường tròn (O') tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng;
a) \(AB^2=AC.AD\)
b) \(\frac{BC}{BD}=\sqrt{\frac{AC}{AD}}\)
Cho hai đường tròn tâm O và tâm O' cắt nhau tại A và B. Vẽ dây BC của đường tròn tâm O tiếp xúc với đường tròn tâm O'. Vẽ dây BD của đường tròn tâm O' tiếp xúc với đường tròn tâm O. CMR:
a) AB2=AC.AD
b)\(\frac{BC}{BD}=\sqrt{\frac{AC}{AD}}\)
1) cho 2 đường tròn (O) và (O') ngoài nhau có các đường kính AOB, CO'D nằm trên đường thẳng nối tâm, có tiếp tuyến chung ngoài MN (M\(\in\)(O) , N\(\in\left(O'\right)\)các đường thẳng AM và DN cắt nhau tại K, các đường thẳng MB và NC cắt nhau tại H. C/m:
a)\(KH\perp AD\)
b) KM.KA=KN.KD
2) Cho 2 đường tròn cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O') tại A. Dây BD của đường tròn (O') tiếp xúc với đường tròn (O) tai B. C/m:
a) BC.AD=AB2
b)\(\frac{BC}{AD}=\frac{AC^2}{BD^2}\)
Cho đường tròn tâm (O), điểm M nằm noài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD. Gọi L là giao điểm của AB, CD. Cmr: \(\frac{1}{MC}+\frac{1}{MD}=\frac{2}{ML}.\)
cho nửa đường tròn (o,r) đường kính AB, C thuộc nửa đường tròn, CH vuông góc với AB, vẽ đường tròn (C,CH) cắt đường tròn (O) tại D,E
\(S_{ODCE}\le\frac{r^2\sqrt{3}}{2}\)
