\(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{1}{2}xy\)

Tương tự và cộng lại:

\(A\ge x+y+z-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge x+y+z-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(\frac{17}{3}\) đúng k?

qua hoidap247

Ta có:

\(H=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{\frac{1}{x^2}}{x\left(y+z\right)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y\left(z+x\right)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2}{xy+zx}+\frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2}{yz+xy}+\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^2}{zx+yz}\)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta được:

\(H\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1

Vậy Min(H) = 3/2 khi x = y = z = 1

Bài này thì chắc cô si ngược dấu thôi:v

\(LHS=\Sigma\frac{x}{1+y^2}=\Sigma x.\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\)

\(\ge\Sigma x\left(1-\frac{y}{2}\right)=x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

\(\ge x+y+z-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)

P/s: check xem có ngược dấu chỗ nào ko:v

Áp dụng Bunhia.

\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=3.3=9\)

=> \(0< x+y+z\le3\)

Có: \(P=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)

\(=\frac{x^2-2x+1}{x}+\frac{y^2-2y+1}{y}+\frac{z^2-2z+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}+6\)

\(=\frac{\left(x-1\right)^2}{x}+\frac{\left(y-1\right)^2}{y}+\frac{\left(z-1\right)^2}{z}-\frac{1}{x+y+z}+6\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x+y+z}-\frac{1}{x+y+z}+6=\frac{\left(x+y+z-3\right)^2-1}{x+y+z}+6\)

\(\ge\frac{0-1}{3}+6=\frac{17}{3}\)

"=" xảy ra <=> \(x+y+z=3;x=y=z\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy min P = 17/3 <=> x = y = z =1.

\(P=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)

\(=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)

\(\ge x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=x+y+z+\frac{8x}{9}+\frac{8y}{9}+\frac{8z}{9}\)

Có BĐT phụ \(a+\frac{8}{9a}\ge\frac{a^2+33}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{9a^2+8}{9a}\ge\frac{a^2+33}{18}\)

\(\Leftrightarrow162a^2+144-9a^3-297a\ge0\)

\(\Leftrightarrow-a^3+18a^2-33a+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(16-a\right)\ge0\left(OK\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{17}{3}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1

\(\frac{\left(x+y+z-3\right)^2-1}{x+y+z}+6\ge\frac{0-1}{x+y+z}+6\ge\frac{0-1}{3}+6\)

Chú ý: \(\left(x+y+z-3\right)^2\ge0\) với mọi x, y, z.

Sử dụng AM - GM dạng cộng mẫu :

\(\frac{1}{x+1}+\frac{4}{y+2}+\frac{9}{z+3}\)

\(\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z+1+2+3}\)

\(=\frac{36}{x+y+z+6}\)

\(=\frac{36}{12}=3\)

Đẳng thức xảy ra tại ......

Trên kia là sai lầm thường gawpjjj ( theo mình nghĩ thế tại nhác tìm dấu bằng )

thứ 2 là wolfram alpha bảo không có minimize: