Ta có

x+y=a+b <=> x- a= b+y (1)

x^2 +y^2 = a^2 +b^2

<=> x^2 - a^2 = b^2 -y^2

<=> (x+ a) ( x+a) = ( b-y) (b+y)

Nếu x-a= b-y = 0 thì x= a và y =b => x^n + y^n = a^ n+ b^ n

Nêu x- a = b-y \(\ne\)0 thì x+ a=b+ y ( chia hai vế theo biểu thức cho x-a vag b-y tương ứng )

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được x=b ; y= a 

<=> x^ n+ y^ n= a^n + b^ n. 

=> ĐPCM

a) Ta có: \(2018^n-1964^n⋮3\)

\(2032^n-1984^n⋮3\)

nên An chia hết cho 3

Mà \(2018^n-1984^n⋮17\)

\(2032^n-1964^n⋮17\)

nên An chia hết cho 17

Vậy A chia hết cho 51

b) Ta có: An đồng dư 3^n +2^n-2.4^n (mod5)

và An đồng dư 2^n + 7^n -2^n-4^n (mod9)

Vậy An chia hết cho 45 khi n có dạng 12k

1. a) 

+) \(A_n=2018^n+2032^n-1964^n-1984^n\)

\(=\left(2018^n-1964^n\right)+\left(2032^n-1984^n\right)\)

Vì \(2018^n-1964^n⋮2018-1964\)=>\(2018^n-1964^n⋮54\)=>  \(2018^n-1964^n⋮3\)

\(\left(2032^n-1984^n\right)⋮3\)

=> \(A_n⋮3\)(1)

+) \(A_n=\left(2018^n-1984^n\right)+\left(2032^n-1964^n\right)\)

Vì : \(2018^n-1984^n⋮17\)và \(\left(2032^n-1964^n\right)⋮17\)

=> \(A_n⋮17\)(2)

Từ (1) ; (2) ; 3.17=51 và (3; 17) = 1

=> \(A_n⋮51\)

Giúp mình nhé mình sẽ tích ngay cho các bạn bây giờ mình đang rất cần

d 10^n+72^n -1

=10^n -1+72n

=(10-1) [10^(n-1)+10^(n-2)+ .....................+10+1]+72n

=9[10^(n-1)+10^(n-2)+..........................-9n+81n

\(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow a=ck;b=dk\)

\(\Rightarrow ab=cd\Leftrightarrow cdk^2-cd=0\)

\(\Leftrightarrow cd\left(k^2-1\right)=0\Leftrightarrow k=\pm1\)

\(\left(+\right)k=1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=1\Leftrightarrow a=c;b=d\)

\(\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n=2a^n+2b^n\ge4\forall a,b>0\)

và \(2a^n+2b^n⋮2\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số

\(\left(+\right)k=-1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=-1\Leftrightarrow a=-c;b=-d\)( vô lí )

Vì \(a,b,c,d>0\)

Vậy \(A=a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số

Đoạn > = 4 kia là với mọi a,b thuộc N* nhé ><

Ta có (a + b + c)² \(\ge0\forall a;b;c\inℝ\)

=> a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca \(\ge\)0

=> a² + b² + c² \(\ge\)0 - (2ab + 2bc + 2ca)

=> a² + b² + c² \(\le\)2ab + 2bc + 2ca

=> a² + b² + c² \(\le\)2(ab + bc + ca) 

Dấu "=" xảy ra <=> a + b + c = 0

Xí bài 2 ý a) trước :>

4x² + 2y² + 2z² - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0

<=> ( 4x² - 4xy + y² - 4xz + 2yz + z² ) + ( y² - 6y + 9 ) + ( z² - 10z + 25 ) = 0

<=> [ ( 4x² - 4xy + y² ) - 2( 2x - y )z + z² ] + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

<=> [ ( 2x - y )² - 2( 2x - y )z + z² ] + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

<=> ( 2x - y - z )² + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y-z\right)^2\\\left(y-3\right)^2\\\left(z-5\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y,z\Rightarrow\left(2x-y-z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)

Thế vào T ta được : 

\(T=\left(4-4\right)^{2014}+\left(3-4\right)^{2014}+\left(5-4\right)^{2014}\)

\(T=0+1+1=2\)

\(a=10;b=0;c=0\Rightarrow VT=100;VP=0\text{ nên BĐT sai và BĐT chỉ luôn đúng khi}\)

a,b,c là 3 cạnh của tam giác

\(A=25.5^n+26.5^n+8^{2n}.8=25.5^n+26.5^n+64^n.8\)

\(\equiv25.5^n+26.5^n+64^n.8\equiv25.5^n+26.5^n+5^n.8\equiv59.5^n\equiv0\left(\text{mod 59}\right)\text{ có đpcm}\)

Lớp 6 khó vậy sao?

ab=cd (*) 

a=b=c=d=1 => A=4=2.2 đúng

a=[c,d]

b=[c,d]

a,b,c,d, vai trò như nhau

g/s a=c; b=d 

A=2a^2+2b^2 =2.(a^2+b^2) => A hợp số

với a,b,c,d >1, và a,b,c,d khác nhau

ta có

đảm bảo (*)

( không tồn tại ab=cd khác nhau mà nguyên tố)

g/s a và c có ước lớn nhất p

ta có a=x.p và c=y.p ( do p lớn nhất => (x,y)=1)(**)

từ ab=cd=> x.p.b=y.p.d

từ (**)=> b=y.q và d=x.q

thay hết vào A

A=x^n .p^n+y^n.q^n^n+y^n.p^n+x^n.q^n =x^n(p^n+q^n)+y^n(p^n+q^n)=(x^n+y^n)(p^n+q^n)

A=B.C --> dpcm 

ko hiểu

gọi \(d'\)là \(ƯCLN\left(a,c\right)\)

\(\Rightarrow a=d'p;b=d'q;\left(m,n\right)=1;p,q\inℕ^∗\)

\(ab=cd\Rightarrow d'bp=d'dq\Rightarrow bp=dq\)

Mà     \(\left(p,q\right)=1\Rightarrow b⋮q\)

Đặt \(b=qk\)do đó \(d=pk\)\(k\inℕ^∗\)

Ta có:\(A=d'^n\cdot p^n+q^n\cdot k^n+d'^n\cdot q^n+p^n\cdot k^n\)

              \(=d'^n\cdot p^n+d'^n\cdot q^n+q^n\cdot k^n+p^n\cdot k^n\)

            \(=d'^n\left(p^n+q^n\right)+k^n\left(p^n+q^n\right)\)

             \(=\left(d'^n+k^n\right)\left(p^n+q^n\right)>0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Ta có: \(ab=cd\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{d}{b}\)

Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k\inℕ\right)\)

Ta xét 2 TH sau:

Nếu k = 1 => \(\hept{\begin{cases}a=c\\b=d\end{cases}}\) \(\Rightarrow A=a^n+b^n+c^n+d^n=2\left(a^n+b^n\right)\) chia hết cho 2 và lớn hơn 2

=> A là hợp số

Nếu k khác 1 thì ta có: \(\hept{\begin{cases}a=ck\\d=bk\end{cases}\left(k\inℕ^∗\right)}\)

Thay vào: \(A=a^n+b^n+c^n+d^n=\left(ck\right)^n+b^n+c^n+\left(bk\right)^n\)

\(=c^n\left(k^n+1\right)+b^n\left(k^n+1\right)=\left(b^n+c^n\right)\left(k^n+1\right)\) là hợp số

=> đpcm

=> đpcm ( ngại trình bày)