Theo giả thiết: \(a+b+c=3\Rightarrow b+c=3-a\). Tương tự: a+b=3-a và c+a=3-b

Khi đó \(\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}=\frac{1}{a^2-a+3}+\frac{1}{b^2-b+3}+\frac{1}{c^2-c+3}\)

Ta chứng minh BĐT phụ sau:

\(\frac{1}{a^2-a+3}\le\frac{4-a}{9}\)(1)

Thật vậy, BĐT (1) \(\Leftrightarrow9\le\left(4-a\right)\left(a^2-a+3\right)\)

\(\Leftrightarrow9\le-a^3+5a^2-7a+12\)\(\Leftrightarrow-a^3+5a^2-7a+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow-a^3+a^2+4a^2-4a-3a+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow-a^2\left(a-1\right)+4a\left(a-1\right)-3\left(a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(-a^2+4a-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(-a^2+a+3a-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left[-a\left(a-1\right)+3\left(a-1\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)\ge0\)(2)

Ta thấy \(a;b;c>0\) và \(a+b+c=3\Rightarrow a< 3\)\(\Rightarrow3-a>0\)

Mà \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\). Nên \(\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)\ge0\)

Do đó: BĐT (2) luôn đúng với mọi 0<a<3 => BĐT (1) cũng đúng

Chứng minh tương tự \(\frac{1}{b^2-b+3}\le\frac{4-b}{9};\frac{1}{c^2-c+3}\le\frac{4-c}{9}\)

Từ đó suy ra:

\(\frac{1}{a^2-a+3}+\frac{1}{b^2-b+3}+\frac{1}{c^2-c+3}\le\frac{12-\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{12-3}{9}=1\)(Do a+b+c=3)

=> ĐPCM.

Cho x,y,z € Z+ tm: x+y+z=4

Tính A= \(\sqrt{ }\)x(4-y)(4-z) +\(\sqrt{ }\)y(4-x)(4-x) +\(\sqrt{ }\)z(4-x)(4-y) -\(\sqrt{ }\)xyz

tao loa

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\frac{x}{y}\\b=\frac{y}{z}\\c=\frac{z}{x}\end{cases}}\) Ta có: \(A=\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}=\frac{1}{\frac{x}{y}+2}+\frac{1}{\frac{y}{z}+2}+\frac{1}{\frac{z}{x}+2}\)

\(=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}\)

Cần cm \(A\le1\Leftrightarrow2A\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2y}{x+2y}+\frac{2z}{y+2z}+\frac{2x}{z+2x}\le2\)

\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{2y}{x+2y}\right)+\left(1-\frac{2z}{y+2z}\right)+\left(1-\frac{2x}{z+2x}\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xz}\ge1\)

bđt này đúng theo cauchy-schwarz. dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Thanks bạn nha Girl:>>

Giải nè: 
Cách I:(((dành cho nhũng ai biết HĐT a³ + b³ + c³ = [(a + b + c)(a² + b²+ c²-ab-bc-ca)+3abc]))) 
Ta có: 
bc/a²+ac/b²+ ab/c²=abc/a³+abc/b³+abc/c³ 
=abc(1/a³ + 1/b³ + 1/c³) 
=abc[(1/a + 1/b + 1/c)(1/a² + 1/b²+ 1/c²-1/ab-1/bc-1/ca)+3/abc](áp dụng HĐt trên) 
=abc.3/(abc)=3 
Cách II: 
Từ giả thiết suy ra: 
(1/a +1/b)³=-1/c³ 
=>1/a³+1/b³+1/c³=-3.1/a.1/b(1/a+1/b)=3...‡ 
=>bc/a²+ac/b²+ ab/c²=abc/a³+abc/b³+abc/c³ 
=abc(1/a³ + 1/b³ + 1/c³) 
=abc.3/(abc)=3

Câu hỏi của ngô thị đào - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Bài làm đúng.