đặt \(P=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\)

\(\Rightarrow P-3=\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}\le\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{bc}{1-\frac{b^2+c^2}{2}}+\frac{ca}{1-\frac{c^2+a^2}{2}}\)

\(\le\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+a^2\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+a^2\right)}\)

\(\le\frac{1}{2}.\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+a^2}\right)=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P-3\le\frac{3}{2}\Rightarrow P\le\frac{9}{2}\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\ge3.\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Rightarrow\frac{1}{abc}\le1\Rightarrow abc\ge1\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

=> VP=\(\frac{1}{8}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\frac{a+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{c+1}{2}\ge\sqrt{abc}\ge1\)(*)

      VP=\(\left(2a-1\right)\left(2b-1\right)\left(2c-1\right)\le a^2b^2c^2\left(Cauchy\right)\)(1)

                                                          mà    \(1\le abc\)(2)

    Lấy (1) chia (2) theo vế ta được:          \(abc\ge\left(2a-1\right)\left(2b-1\right)\left(2c-1\right)\)(3)

    Lấy (3) chia (2) theo vế ta được:               \(1\ge\left(2a-1\right)\left(2b-1\right)\left(2c-1\right)\) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra ĐPCM. :)

P/S: k chắc nx ._. làm lụi 

Xét vế trái :

Do a,b,c >0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)

Xét vế phải ta có: a,b,c>0

Áp dụng bđt Cô-si:

\(a+b+c\ge2\sqrt{\left(a+b\right)c}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)c}}\ge\frac{2}{x+y+z}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự ta có:

\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\)

\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\left(2\right)\)

Từ (1) (2) suy ra đpcm

\(Σ_{cyc}\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{2}\)

P/tích: \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{\text{bậc 2}}{\text{bậc 1}}=\text{bậc 1}\). Tương tự cho 2 cái kia

\(\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{2}\) có \(a^2+b^2+c^2=\text{bậc 2}\Rightarrow\sqrt{3\left(Σ_{cyc}a^2\right)}\) có bậc là \(\frac{1}{2}\cdot2=1\)

Hay BĐT thuần nhất, chuẩn hóa \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)

BĐT cần chứng minh \(Σ_{cyc}\frac{a^2}{3-a}\ge\frac{3}{2}\) UCT tiếp nhé :v