1 + 2 + 3 +...+ \(x\) = \(\overline{aaa}\)

Đặt 1 + 2 + 3 +...+ \(x\) = B 

xét dãy số 

1; 2; 3; ...; \(x\)

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Dãy số trên có số số hạng là: (\(x\) - 1): 1 + 1 = \(x\)

Tổng B =  ( \(x\) + 1) \(\times\) \(x\) : 2 = \(\overline{aaa}\) 

                 (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = \(\overline{aaa}\) \(\times\) 2 

                 (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 2 \(\times\) 111 \(\times\) a 

                (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 2 \(\times\) 3 \(\times\) 37 \(\times\) a

                (\(x\) + 1)\(\times\) \(x\) = 37\(\times\)6\(\times\)a = 74\(\times\)3\(\times\)a = 111 \(\times\) 2 \(\times\) a 

   ⇒  6 \(\times\) a = 36;  38;   3  \(\times\) a = 73; 75;     2 \(\times\) a  = 110; 112 

Lập bảng ta có: 

Vậy a = 6 ⇒ (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 37 \(\times\) 36 ⇒ \(x\) = 36

Đáp số \(x\) = 36; a = 6 

 Ta thấy rằng \(1+2+3+...+x=\dfrac{x\left(x+1\right)}{2}\) nên điều kiện đề bài tương đương với \(\dfrac{x\left(x+1\right)}{2}=\overline{aaa}=100a+10a+a\) \(=111a\)

 \(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=222a\). Ta thấy \(x\ge11\) vì nếu không \(x^2+x\le110< 111\). Tương tự thì \(x\le31\) vì nếu không \(x^2+x\ge1056>999\). Từ đó suy ra \(11\le x\le31\). Mặt khác, \(x\left(x+1\right)=222a\) nghĩa là \(x\left(x+1\right)⋮222\). Nhưng do \(x\) và \(x+1\) nguyên tố cùng nhau nên \(x⋮222\) hoặc \(x+1⋮222\). Nhưng với \(11\le x\le31\) thì rõ ràng điều này không thể thỏa mãn.

 Vậy, không tồn tại số tự nhiên \(x\) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

36 nha bạn 

1/2=2/4 , 1/14=2/28 , 1/35=2/70

ta có: 2/4=2/1.4 , 2/28=2/4.7 , 2/70=2/7.10 ................

thay vào ta có:  2/1.4+2/4.7+2/7.10+........+2/x(x+3)=1340/2011

2.(1/1.4+1/4.7+1/7.10+....+1/x(x+3)=1340/2011

2.3.(1/1.4+1/4.7+1/7.10+....+1/x(x+3)=(1340/2011).3

2.(3/1.4+3/4.7+3/7.10+......+3/x(x+3)=4020/2011

2.(1- 1/4 + 1/4- 1/7 + 1/7- 1/10 +.......+1/x - 1/x+3)=4020/2011

1-1/x+3 =4020/2011 :2= 2010/2011

1- 2010/2011=1/x+3

1/2011=1/x+3

x+3= 2011

x=2008

a; Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có dạng:

  n; n + 1; n + 2

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có là:

n  + n + 1 + n  +2 = 3n + 3 = 3.(n+  1) ⋮ 3(đpcm)

1, ĐỀ SAI EM NHÉ, PHẢI LÀ 32 CHỮ SỐ MÓI ĐÚNG

ta có: \(2C=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

=> \(C=2C-C=2^{100}-1\Rightarrow C+1=2^{100}=2.\left(2^3\right)^{33}=2.8^{33}\)

Vậy => \(2.10^{32}< 2.8^{33}< 2.10^{33}\)

=> C +1 có 32 chữ số

2, Có: \(3^{x+2}+3^{x+1}+3^x< 1053\Leftrightarrow3^x\left(3^2+3+1\right)< 1053\)

\(\Leftrightarrow13.3^x< 1053\Leftrightarrow3^x< 81=3^4\Leftrightarrow x< 4\)

Vậy x=1,2,3

3, Ta có: a= 135k +88= 120k+15k +88

Do a cia 120 dư 58 => 15k+88 dư 58 => 15k + 30 chia hết cho 120

Do a nhỏ nhất nên chọn k thỏa mãn: 15k+30=120 <=> k=

=> số a là: 135.6+88=898

1)

C = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹

2C = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰

2C - C = ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰ ) - ( 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹ )

C = 2¹⁰⁰ - 1

=> C + 1 = 2¹⁰⁰ - 1 + 1 = 2¹⁰⁰

ta có : 10³⁰ < 2¹⁰⁰ vì 10³⁰ = ( 10³ ) ¹⁰ = 1000¹⁰ < 2¹⁰⁰ = ( 2¹⁰ ) ¹⁰ = 1024¹⁰

lại có : 2¹⁰⁰ = 2³¹ . 2⁶⁹ = 2³¹ . 2⁶³ . 2⁶ = 2³¹ . ( 2⁹ ) ⁷ . 64 = 2³¹ . 512⁷ . 64 = 2³¹ . ( 512⁷ . 64 )

10³¹ = ( 2 . 5 ) ³¹ = 2³¹ . 5³¹ = 2³¹ . 5²⁸ . 5³ = 2³¹ . ( 5⁴ ) ⁷ . 125 = 2³¹ . 625⁷ . 125 = 2³¹ . ( 625⁷ . 125 )

Vì 512⁷ . 64 < 625⁷ .125 nên 2³¹ . ( 512⁷ . 64 ) < 2³¹ . ( 625⁷ . 125 ) hay 2¹⁰⁰ < 10³¹

10³⁰ là số bé nhất có 31 chữ số ; 10³¹ là số bé nhất có 32 chữ số

Mà 10³⁰ < 2¹⁰⁰ < 10³¹ 

=> 2¹⁰⁰ là số có 31 chữ số

Vậy C + 1 là số có 31 chữ số

đề đúng