Ta có:

\(M=\frac{2}{1+\sqrt{a}}\le2\)

Mà để 18M là số chính phương thì M=2

Suy ra: \(\frac{2}{1+\sqrt{a}}=2\)

Suy ra: \(1+\sqrt{a}=1\)

\(\sqrt{a}=0\Rightarrow a=0\)

Vậy a=0

a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

Ta có M = \(\frac{2}{1+\sqrt{a}}\le2\)

Mà để 18M là số chính phương thì M = 2 

=> \(\frac{2}{1+\sqrt{a}}\)=2

=> 1 + \(\sqrt{a}\)=1

<=> \(\sqrt{a}=0\Rightarrow a=0\)( thỏa mãn đk) 

Vậy a = 0 

\(18M=\frac{36}{1+\sqrt{a}}\)do 36 là số chính phương nên 18M là số chính phương thì 1+\(\sqrt{a}\inƯ\left(36\right)\)chính phương

=> \(1+\sqrt{a}\in\left\{1;4;9;36\right\}\)

\(\Rightarrow a=\left\{9;64;1225\right\}\)với \(a>0;a\ne1\)

\(\sqrt{2014}=44.9\)

mà 2014 > M = m^2 và m <44.9, m phải là số tự nhiên  và lớn nhất (do a có gt nhỏ nhất) => m=44 => M = 1936.

=> a = 78