Ta có :

445² = 198025

446² = 198916

Ta thấy : 198025 < 1985xy < 198916

       hay : 445² < 1985xy < 446²

Vậy 1985xy không phải là số chính phương

1/ Xét \(\left(n^{1010}\right)^2=n^{2020}< n^{2020}+1=\left(n^{1010}+1\right)^2-2n^{1010}< \left(n^{1010}+1\right)^2\)

Vì \(n^{2020}+1\)nằm ở giữa 2 số chính phương liên tiếp là \(\left(n^{1010}\right)^2\)và \(\left(n^{1010}+1\right)^2\)nên không thể là số chính phương.

2/ Mình xin sửa đề là 1 tí đó là tìm \(n\inℤ\)để A là số chính phương nha bạn, vì A hoàn toàn có thể là số chính phương

\(A>n^4+2n^3+n^2=\left(n^2+n\right)^2,\forall n\inℤ\)

\(A< n^4+n^2+9+2n^3+6n^2+6n=\left(n^2+n+3\right)^2,\forall n\inℤ\)

Vì A bị kẹp giữa 2 số chính phương là \(\left(n^2+n\right)^2,\left(n^2+n+3\right)^2\)nên A là số chính phương khi và chỉ khi:

+) \(A=\left(n^2+n+1\right)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=n^4+n^2+1+2n^3+2n^2+2n\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=-3\end{cases}}\)

+) \(A=\left(n^2+n+2\right)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=n^4+n^2+4+2n^3+4n^2+4n\)

\(\Leftrightarrow3n^2+3n-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\notinℤ\)---> Với n=-3;2 thì A là số chính phương.

3/ Bằng phản chứng giả sử \(n^3+1\)là số chính phương:

---> Đặt: \(n^3+1=k^2,k\inℕ^∗\Rightarrow n^3=k^2-1=\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Vì n lẻ nên (k-1) và (k+1) cùng lẻ ---> 2 số lẻ liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau

Lúc này (k-1) và (k+1) phải là lập phương của 2 số tự nhiên khác nhau

---> Đặt: \(\hept{\begin{cases}k-1=a^3\\k+1=b^3\end{cases},a,b\inℕ^∗}\)

Vì \(k+1>k-1\Rightarrow b^3>a^3\Rightarrow b>a\)---> Đặt \(b=a+c,c\ge1\)

Có \(b^3-a^3=\left(k+1\right)-\left(k-1\right)\Leftrightarrow\left(a+c\right)^3-a^3=2\Leftrightarrow3ca^2+3ac^2+c^3=2\)

-----> Quá vô lí vì \(a,c\ge1\Rightarrow3ca^2+3ac^2+c^3\ge7\)

Vậy mâu thuẫn giả thiết ---> \(n^3+1\)không thể là số chính phương với n lẻ.

a) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n ; n+1; n+2; n+3 (n thuộc N)

Ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

    \(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\left(\cdot\right)\)

Đặt n² + 3n = t (t thuộc N) thì \(\left(\cdot\right)=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Vì n thuộc N nên (n²+3n+1) thuộc N

=> Vậy n(n+1)(n+2)(n+3)+1 là 1 số chính phương

tính giá trị của biểu thức 

a, 2x^2(ax^2+2bx+4c)=6x^4-20x^3-8x^2 với mọi x

b, (ax+b)(x^2-cx+2)=x^3+x^2-2 với mọi x

a,Gọi a là một số nguyên bất kỳ => a có dạng 2k hoặc 2k+1 (k\(\in\)Z)

Xét a = 2k=>\(a^2\)=\(\left(2k\right)^2\)=\(4k^2\)=>\(a^2\) chia 4 dư 0

Xét a= 2k+1=>\(a^2\)=\(\left(2k+1\right)^2\)=\(4k^2\)\(+\)\(4k+1\)=>\(a^2\) chia 4 dư 1

Vậy số chính phương khi chí cho 4 dư 0 hoặc 1.

mk chưa học giai thừa ,xin lỗi nha

tuy ko biết làm nhưng cứ xin cho cái ****

:D

mị lớp > chị nên đừng hỏi tui cái này

Ta có: \(n^6-n^4+2n^3+2n^2=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)=n^2\left(n+1\right)\left(n^3+n^2-2n^2+2\right)=n^2\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+1\right)-2\left(n+1\right)\left(n-1\right)\right]\)\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)

Để \(A\)là số chính phương thì \(n^2-2n+2\)là số chính phương. 

Ta có: \(n^2-2n+2< n^2\)(do \(n>1\)) 

\(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1>\left(n-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< n^2-2n+2< n^2\)nên \(n^2-2n+2\)không thể là số chính phương. 

Vậy \(A=n^6-n^4+2n^3+2n^2\)không là số chính phương.