a.\(n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=\left(n^2+2\right)^2-\left(2n\right)^2=\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2-2n+2\right)\)

nguyên tố nên thừa số nhỏ hơn là \(n^2-2n+2=1\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2=0\Leftrightarrow n=1\)thỏa mãn đề bài

b. ta có :\(n^{1994}+n^{1993}+1-\left(n^2+n+1\right)=\left(n^{1992}-1\right)\left(n^2+n\right)\)

mà \(1992⋮3\Rightarrow n^{1992}-1⋮n^3-1⋮n^2+n+1\)

nên \(n^{1994}+n^{1993}+1⋮n^2+n+1\)mà nó là số nguyên tố nên

\(n^2+n+1=1\Leftrightarrow n=0\) ( Do n là số tự nhiên nên n= -1 loại bỏ đi )

1) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 + 2n).(n² + 2 - 2n)

Ta có n²  + 2n + 2 = (n+1)² + 1 > 1 với n là số tự nhiên 

n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1 \(\ge\) 1 với n là số tự nhiên

Để  n⁴ + 4 là số nguyên tố =>  thì  n⁴ + 4 chỉ có 2 ước là chính nó và 1 

=> n²  + 2n + 2  = n⁴ + 4 và n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1  = 1 

(n -1)²  + 1  = 1 => n - 1= 0 => n = 1

Vậy n = 1 thì n⁴ là số nguyên tố

mấy bn này toàn bình luận, trong khi đó bài mk...

2) n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 = n². (n¹⁹⁹² - 1) + n. (n¹⁹⁹² - 1) + (n² + n + 1)

Áp dụng hằng đẳng thức aⁿ - bⁿ  = (a - b). (a^n-1 + a^n-2. b + ...+ b^n-1) 

=> n¹⁹⁹² - 1 = (n³)⁶⁶⁴ - 1⁶⁶⁴ = (n³  - 1).A(n) = (n-1).(n² + n + 1). A(n) = (n² + n + 1). A'(n)

=> n¹⁹⁹² - 1  chia hết cho n² + n + 1

=> n². (n¹⁹⁹² - 1) + n. (n¹⁹⁹² - 1) + (n² + n + 1) đều chia hết cho  (n² + n + 1) 

=> n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 chia hết cho ( n² + n + 1) \(\ge\) 1  với mọi số tự nhiên n

Để n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 là số nguyên tố thì n² + n + 1 = 1 hoặc n² + n + 1 =  n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 

+) Nếu n² + n + 1 = 1 => n.(n + 1) = 0 => n = 0 (do n + 1> 0) => n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 = 1 không là số ngt

+) Nếu n² + n + 1 =  n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 => n² + n  =  n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³  => n.(n +1)  -  n¹⁹⁹³. (n +1) = 0 

=> n(n +1). (1 - n¹⁹⁹²) = 0 

=> 1 - n¹⁹⁹² = 0 => n1⁹⁹² = 1 => n = 1 thỏa mãn

Vậy n = 1

còn bài cuối chỉ cần bạn đặt \(n^{1994}+n^{1993}=\left(n+1\right)n^{1993}\)

mà số nguyên tố nếu mình nhớ không nhầm thì thường được biểu diễn dưới dạng là 4k+1 thì phải hay còn dạng nữa mình không nhớ lắm hay là 3k+1 gì đó nữa 

lâu nay lười giải quá nhưng thôi mình giải cho bạn.

câu 1: ta gọi 2 số đó là a và b. Ta có:

\(a=x^2+y^2\)

\(b=n^2+m^2\)

=> \(ab=\left(x^2+y^2\right)\left(n^2+m^2\right)\)

bạn nhân nó ra sau đó cộng thêm 2nmxy và trừ 2nmxy rồi áp dụng hằng đẳng thức 1 và 2

câu 2: gọi 3 số đó là gì thì tùy cậu nhưng ở đây gọi là n, n+1, n+2 cho thuận dấu với trường hợp k=3

\(n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2=3n^2+6n+5\)

rồi ta thấy ra vế phải không thể nào rút ra được bình phương của một tổng tức áp dụng theo hằng đẳng thức 1 nên tổng bình phương của k=3 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương 

với trường hợp k=4 và 5 làm tương tự

1) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 + 2n).(n² + 2 - 2n)

Ta có n²  + 2n + 2 = (n+1)² + 1 > 1 với n là số tự nhiên 

n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1 $\ge$ 1 với n là số tự nhiên

Để  n⁴ + 4 là số nguyên tố =>  thì  n⁴ + 4 chỉ có 2 ước là chính nó và 1 

=> n²  + 2n + 2  = n⁴ + 4 và n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1  = 1 

(n -1)²  + 1  = 1 => n - 1= 0 => n = 1

Vậy n = 1 thì n⁴ là số nguyên tố

n = -3 va n = 3