Để phân số n+1/2n+3 là phân số tối giản thì (n+1; 2n+3) =1

Gọi (n+1; 2n+3) =d => n+1 \(⋮\)d; 2n+3 \(⋮\)d

=> (2n+3) - (n+1) \(⋮\)d

=> (2n+3) -2(n+1) \(⋮\)d

=> 2n+3 -2n -2 \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> n+1/2n+3 là phân số tối giản

Vậy...

Gọi d là ƯC(n+1 ; 2n + 3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

=> ( 2n + 3 ) - ( 2n + 2 ) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> ƯCLN(n +1 ; 2n + 3) = 1

=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản ( đpcm )

 (18n+3)/(21n+7) = [(21n+7)-(3n+4)]/(21n+7)

= 1 - (3n+4)/(21n+7) là phân số tối giản <=> (3n+4)/(21n+7) tối giản 
<=> (21n+7)/(3n+4) tối giản

<=> [7.(3n+4) - 21]/(3n+4) = 7 - 21/(3n+4) tối giản 
<=> 21/(3n+4) = (3.7)/(3n+4) tối giản

<=> 7/(3n+4) tối giản (*) (vì 3n+4 không là bội của 3) 
(*) <=> 3n+4 không chia hết cho 7

<=> 3n # 7k+3 trong đó k là bội của 3 (vì VT là bội của 3)

<=> 3n # 21m+3 (với k = 3m)

<=> n # 7m+1 (m thuộc Z) 
 

Gọi d là UCLN của n và n+1 ; Ta có n chia hết cho d

n+1 chia hết cho n

\(\Rightarrow\)(n+1)-n chia hết cho d

\(\Rightarrow\)1chia hết cho d

\(\Rightarrow\)d=1