Ta có hình vẽ:

Kẻ \(ID\perp AB,IE\perp BC,IF\perp AC\)

Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:

     \(\widehat{IDB}=\widehat{IEB}=90^o\)

     \(\widehat{DBI}=\widehat{EBI}\left(gt\right)\)

     BI là cạnh huyền trung

    \(\Rightarrow\Delta IDB=\Delta IEB\)(cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:

     \(\widehat{IEC}=\widehat{IFC}=90^o\)

     \(\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\left(gt\right)\)

     CI là cạnh huyền trung

     \(\Rightarrow\Delta IEC=\Delta IFC\: \)(cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ID = IF

Xét tam giác vuông IDA và IFA, ta có:

      \(\widehat{IDA}=\widehat{IFA}=90^o\)

      ID = IF (chứng minh trên)

      AI là cạnh huyền trung

Suy ra: \(\Delta IDA=\Delta IFA\)(cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{DAI}=\widehat{FAI}\) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

Hoặc bạn kham khảo tại link:

Gọi IM , IN, IP lần lượt là khoảng cách từ điểm I đến BC, AB , AC

Vì BI là tia phân giác của \(\widehat{B}\)

=> IM=IN ( theo t/c điểm trên tia phân giác của 1 góc)   (1)

Vì CI là tia phân giác của\(\widehat{C}\)

=> IM=IP (theo t/c điểm nằm trên tia pg của 1 góc)       (2)

Từ (1) và (2) 

=> IN=IP (=IM)

=> I cách đều 2 cạch của \(\widehat{A}\)

=> AI là tia pg tam giác ABC (đpcm)

Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của I lên các cạnh BC,BA,CA

Xét \(\Delta\)BIN và \(\Delta\)BIM có
\(\widehat{IBN}=\widehat{IBM}\)(BI là phân giác)

BI chung

=> \(\Delta\)BIN = \(\Delta\)BIM (cạnh huyền-góc nhọn)

=> IM=IN

CM tương tự có: \(\Delta\)CIP=\(\Delta\)CIM => IM=IP

=> IM=IN=IP

Xét \(\Delta\)AIN và \(\Delta\)AIP vuông tại N và P có:

IA chung

IN=IM

=>  \(\Delta\)AIN = \(\Delta\)AIP (cạnh huyền -cạnh góc vuông)

=> \(\widehat{IAN}=\widehat{IAP}\)=> IA là phân giác góc A (DPCM)

Xét tam giác ABC vuông tại A:

BI; IC là đường phân giác (gt).

BI cắt CI tại I (gt).

\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác góc BAC.

Tam giác ABC có BI; CI là các đường phân giác giao nhau tại I

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp

=> AI là phân giác

Xét tam giác ABC vuông tại A:

BI; IC là đường phân giác (gt).

BI cắt CI tại I (gt).

 AI là tia phân giác góc BAC.