\(S=1+5+5^2+5^3+5^4+...+5^{2010}\)

\(\Leftrightarrow S=1+\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+....+\left(5^{2009}+5^{2010}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=1+5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+....+5^{2009}\left(1+5\right)\)

\(\Leftrightarrow S=1+5\cdot6+5^3\cdot6+...+5^{2009}\cdot6\)

\(\Leftrightarrow S=1+6\left(5+5^3+...+5^{2009}\right)\)

Mà \(6\left(5+5^3+....+5^{2009}\right)⋮2\)

=> S chia 2 dư 1

S=1+5^2+5^3+...+5^2010
S=1+(5^1+5^2)+...+(5^2009+5^2010)
S=1+5(1+5)+5^3(1+5)+...+5^2009(1+5)
S=1+5.6+5^3.6+...+5^2009.6
S=1+6(5+5^3+5^5+...+5^2009)
Ta có 6(5+5^3+...+5^2009) chia hết cho 2 nên S chia 2 dư 1
S=1+6(5+...+5^2009)=1+6.5(1+5^2+5^4+...+5^2008)
S=1+30(5^2+...+5^2008)
Ta có 30(1+5^2+...+5^2008) chia hết cho 10 nên S chia 10 dư 1

THIẾU CHIA CHO 13 KÌA

... tìm số dư khi chia hết???

nếu nó chia hết thì số dư bằng 0 rồi

bạn nếu cách làm đi

Lời giải:

$S=5^0+5^1+5^2+...+5^{2010}$

Số số hạng của S: $(2010-0):1+1=2011$

Vậy S là tổng của lẻ các số lẻ nên $S$ lẻ.

$\Rightarrow S$ chia 2 dư 1.

Lại có:

$5+5^2+....+5^{2010}\vdots 5$

$\Rightarrow S=1+5+5^2+...+5^{2010}$ chia 5 dư 1.

$\Rightarrow S=5k+1$ với $k$ tự nhiên.

Mà $S$ lẻ nên $k$ chẵn. Đặt $k=2m$ với $m$ tự nhiên thì $S=5.2m+1=10m+1$

$\Rightarrow S$ chia 10 dư 1.

------------------

$S=1+5+5^2+(5^3+5^4+5^5+5^6)+(5^7+5^8+5^9+5^{10})+....+(5^{2007}+5^{2008}+5^{2009}+5^{2010})$

$=31+5^3(1+5+5^2+5^3)+5^7(1+5+5^2+5^3)+...+5^{2007}(1+5+5^2+5^3)$
$=31+(1+5+5^2+5^3)(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$=31+156(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$=5+26+13.12(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$\Rightarrow S$ chia 13 dư 5.

Lời giải:

$S=5^0+5^1+5^2+...+5^{2010}$

Số số hạng của S: $(2010-0):1+1=2011$

Vậy S là tổng của lẻ các số lẻ nên $S$ lẻ.

$\Rightarrow S$ chia 2 dư 1.

Lại có:

$5+5^2+....+5^{2010}\vdots 5$

$\Rightarrow S=1+5+5^2+...+5^{2010}$ chia 5 dư 1.

$\Rightarrow S=5k+1$ với $k$ tự nhiên.

Mà $S$ lẻ nên $k$ chẵn. Đặt $k=2m$ với $m$ tự nhiên thì $S=5.2m+1=10m+1$

$\Rightarrow S$ chia 10 dư 1.

------------------

$S=1+5+5^2+(5^3+5^4+5^5+5^6)+(5^7+5^8+5^9+5^{10})+....+(5^{2007}+5^{2008}+5^{2009}+5^{2010})$

$=31+5^3(1+5+5^2+5^3)+5^7(1+5+5^2+5^3)+...+5^{2007}(1+5+5^2+5^3)$
$=31+(1+5+5^2+5^3)(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$=31+156(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$=5+26+13.12(5^3+5^7+...+5^{2007})$

$\Rightarrow S$ chia 13 dư 5.