Theo hằng đẳng thức 
\(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab;\) 
\(c^2+d^2=\left(c+d\right)^2-2cd\)    

\(\Rightarrow\)
\(a^2+b^2\)và \(a+b\) cùng chẵn, hoặc cùng lẻ; 
\(c^2+d^2\) và \(c+d\)cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với 
\(a^2+b^2=c^2+d^2\Rightarrow a+b\) và \(c+d\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Từ đó \(a+b+c+d\)chẵn, và vì \(a+b+c+d\ge4\)
 nên \(a+b+c+d\) là hợp số.

Xét ( a² + b² + c² + d² )  - ( a + b + c + d)

        = a(a -1)  + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)

Vì a là  số nguyên dương nên a, (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp

=> a(a-1) chia hết cho 2. Tương tự ta có b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2

=> a(a -1)  + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1) là số chẵn

Lại có a² + c² = b² + d²=>  a² + b² + c² + d² = 2( b² + d²) là số chẵn.

Do đó a + b + c + d là số chẵn mà a + b + c + d > 2 (Do a, b, c, d thuộc N*)

 a + b + c + d là hợp số.

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a2 + ab + b2 = c2 + cd + d2. Chứng minh a + b + c + d là hợp số. 

\(ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ac+bd=\left(b+d\right)^2-\left(a-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow ac+bd=b^2+d^2+2bd-a^2-c^2+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2-c^2=b^2+d^2+ac+bd\) (1)

Ta có

\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=a^2bd+ab^2c+acd^2+bc^2d=\)

\(=bd\left(a^2+c^2\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\) (2)

Thay (1) vào (2)

\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2+ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2\right)+bd\left(ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(b^2+d^2\right)\left(ac+bd\right)+bd\left(ac+bd\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(ac+bd\right)\left(b^2+d^2+bd\right)\) (3)

Do \(a>b>c>d\)

\(\Rightarrow\left(a-d\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab-ac-bd+cd>0\)

\(\Leftrightarrow ab+cd>ac+bd\) (4)

Và 

\(\left(a-b\right)\left(c-d\right)>0\Leftrightarrow ac-ad-bc+bd>0\)

\(\Leftrightarrow ac+bd>ad+bc\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow ab+cd>ad+bc\) 

Ta có

(3)\(\Leftrightarrow b^2+d^2+bd=\dfrac{\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)}{\left(ac+bd\right)}\) (6)

Vế trái là số nguyên => vế phải cũng phải là số nguyên

Giả sử ab+cd là số nguyên tố mà \(ab+cd>ac+bd\)

\(\Rightarrow UC\left(ab+cd;ac+bd\right)=1\) => ab+cd không chia hết cho ac+bd

=> để vế phải của (6) là số nguyên \(\Rightarrow ad+bc⋮ac+bd\Rightarrow ad+bc>ac+bd\) Mâu thuẫn với (5) nên giả sử sai => ab+cd không thể là số nguyên tố

mình là người mới ,cho mình hỏi làm sao để kiếm xu đổi quà

Theo hằng đẳng thức 
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab; 
c^2+d^2=(c+d)^2-2cd. 
Suy ra a^2+b^2 và a+b cùng chẵn, hoặc cùng lẻ; 
c^2+d^2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với 
a^2+b^2=c^2+d^2 ta suy ra a+b và c+d cùng chẵn, 
hoặc cùng lẻ. Từ đó a+b+c+d chẵn, và vì 
a+b+c+d>=4 nên a+b+c+d là hợp số.

tick cho mk nha

Xét:\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(a+b+c+d\right)\)

\(=\left(a^2+a\right)+\left(b^2+b\right)+\left(c^2+c\right)\left(d^2+d\right)\)

\(=a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)+d\left(d+1\right)\)

Ta có: \(a.\left(a+1\right);b\left(b+1\right);c\left(c+1\right);d\left(d+1\right)\) là tích của hai số nguyên dương liên tiếp .Do đó chúng chia hết cho 2

\( \implies\)\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(a+b+c+d\right)\) chia hết cho 2

Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)\) chia hết cho 2

\( \implies\) \(a+b+c+d\) chia hết cho 2

Mà \(a+b+c+d\) \(\geq\) \(4\) \(\implies\) \(a+b+c+d\) là hợp số (đpcm)