Cho tam giác ABC nhọn có AH là đường cao lớn nhất, E là trung điểm của AC và BE = AH.Chứng minh góc B luôn nhỏ hơn hoặc bằng 60 độ
1 bài hình khó của lớp 7
Cho tam giác nhọn có AH là đường cao lớn nhất, E là trung điểm của AC và BE = AH. CMR: góc B nhỏ hơn hoặc bằng 60 độ
Anh tưởng em làm được rồi
Lấy F đối xứng với E qua BC cắt BC tại G
Áp dụng tính chất đường trung bình ( em tự chứng minh nha ! ) ta có:\(EG=\frac{1}{2}AH\Rightarrow EF=AH=BE\)
Mà BE=BF nên tam giác BEF đều
\(\Rightarrow\widehat{EBC}=30^0\)
Do AH là đường cao lớn nhất nên BC là cạnh nhỏ nhất nên \(BC\le BA\) nên \(\widehat{EBC}\ge\widehat{EBA}\RightarrowĐPCM\)
Hình vẽ:
Xét \(\Delta ABC\)có:
\(AH=AE\left(gt\right)\)
\(\left(H\in BC,E\in AC\right)\)
\(AH\perp BC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow BE\perp AC\)
Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta BEA\)có:
\(BE=AH\left(gt\right)\)
\(\widehat{AHB}=90^0\left(AH\perp BC\right)\)
\(\widehat{BEA}=90^0\left(BE\perp AC\right)\)
\(AB\)là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta BAE\left(ch.cgv\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}\)( 2 góc tương ứng )
Xét \(\Delta ABC\)có:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)( định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác )
mà \(\widehat{A}=\widehat{B}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\frac{180^0}{3}=60^0\)
S ( CBE ) = S ( EBA )
=> 1/2 . BC . BE .sin^CBE = 1/2 . AB . BE . sin^EBA
mà BC \(\le\)AB
=> sin^CBE \(\ge\)sin ^EBA
=> ^CBE \(\ge\)^EBA ok
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong ba đường cao. BE là trung tuyến kẻ từ đỉnh B. Cho biết AH=BE.
a) Chứng minh: góc CBE = 30 độ
b) Chứng minh: góc ABC < hoặc = 60 độ.
c) Tam giác ABC thoả mãn điều kiện gì thì góc B= 60 độ.
Bài khó khó lắm nè.Hội tụ những học sinh nào giỏi a
1.Trong tam giác nhọn ABC, đường cao lớn nhất ẠH bằng trung tuyến BM ( đoạn thẳng một đầu là đỉnh của tam giác, đầu mút kia là trung điểm cạnh đối diện gọi là trung tuyến).Chứng minh rằng : góc ABC không lớn hơn \(60^o\)
Từ trung điểm M của cạnh CA kẻ MI vuông với AB,MD vuông với BC ( như hình vẽ)
Ta có: Góc MBC=\(30^o\)
BM=AH=2MD
Từ đó ta dễ dàng chứng minh được:
Góc MBI < \(30^o\)
=> Góc ABC < \(60^o\)
Ta thấy: Góc AB= \(60^o\) khi và chỉ khi tam giác ABC đều
=> (đpcm)
Bài 1:Cho tam giác ABC vuông tại A.Kẻ AH vuông góc BC.Trên cạnh huyền BC lấy điểm D sao cho BD=AB,trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE=AH.Chứng minh rằng:
a) DE vuông góc AC
b) BD + AH > AB + AC
Bài 2:Cho tam giác ABC,có góc A lớn hơn hoặc bằng 90 độ.Trên cạnh AB,AC lấy điểm M và N sao cho không trùng với các đỉnh của tam giác.C/minh rằng BC>MN
Ta có:
AB=AD
=> tam giác BDA cân tại B
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)(1)
Ta lại có: \(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^o,\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=90^o\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\widehat{HAD}=\widehat{DAE}\)
Xét tam giác HAD và tam giác EAD có:
\(\widehat{HAD}=\widehat{DAE}\)( chứng minh trên)
AH=AE (gt)
AD chung
Suy ra tam giác HAD và tam giác EAD
=> \(\widehat{AHD}=\widehat{ADE}\)
như vậy DE vuông AC
b) Ta có: BD+AH =BA+AE < BA+AC vì (AH=AE, BD=AB, E<AC)
Em xem lại đề bài nhé
1) Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M,N. DM=EN, đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. Chứng minh rằng: đường thẳng vuông góc vs MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
2)Cho tam giác ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc vs AK, đường này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E. Gọi I là trung điểm của DE.
a)Chứng minh rằng: AI vuông góc vs BC
b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? Vì sao?
3) Cho tam giác ABC (AB>AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc vs tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. CMR:
a) EF^2/4 +AH^2=AE^2
b) 2BME=ACB-B
c) BE=CF
4)Cho tam giác ABC có góc B và C là 2 góc nhọn. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE=AC. M là trung điểm của BE, N là trung điểm CB. Ax là tia bất kỳ nằm gưac 2 tia AB và AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax. Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH+CK có giá trị lớn nhất.
5)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông
góc vs AH (M,N thuộc AH)
a) CM: EM+HC=NH
b) CM: EN // FM
bạn đăng từng bài lên 1 đi
mik giải dần cho
Cho DABC vuông tại C . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Kẻ qua D đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại E. AE cắt CD tại I.
a) Chứng minh AE là phân giác góc CAB
b) Chứng minh AD là trung trực của CD
c) So sánh CD và BC
d) M là trung điểm của BC, DM cắt BI tại G, CG cắt DB tại K. Chứng minh K là trung điểm của DB.
Cho tam giác ABC ( AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp (O). AH là đường cao của tam giác ABC. Kẻ đường kính AD của (O). Từ 2 điểm B,C kẻ BE và CF vuông góc với AD lần lượt tại E,F.
Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh IE = IF.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. a) Biết AB = 2cm, AC =2/3 m. Tính độ dài BC, AH và số đo góc B. b) Gọi E là trung điểm AC của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A lên BE. Chứng minh BK BE = BH BC và tam giác KEC đồng dạng với tam giác CEB c) Giả thiết rằng tia CK đồng thời là phân giác của góc C của tam giác ABC. Chứng minh 2.cos B = taB
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, I là trung điểm của BC.Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AH tại D và AC tại E.
a) CM D là trung điểm của BE
b) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất biết BC=a không đổi