\(A=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2+x+y+\frac{4}{x+y}+2\)

\(=4+\frac{2}{x+y}+\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}\)\(\ge4+2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\)

Ta lại có 

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Suy ra \(A\ge4+2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=4+3\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Năng ceo à t lópw 7 r conf ko bt lm

phương trình nghiệm nguyên kiểu này liệt kê ước rồi kẻ bảng ra nhé

B1: Đk: 5x ≥ 0 => x ≥ 0

Vì |x + 1| ≥ 0 => |x + 1| = x + 1

     |x + 2| ≥ 0 => |x + 2| = x + 2

     |x + 3| ≥ 0 => |x + 3| = x + 3

     |x + 4| ≥ 0 => |x + 4| = x + 4

=> |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x

 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x

=> 4x + 10 = 5x

=> x = 10

B2: Ta có: |x - 2018| = |2018 - x|

=> A=|x + 2000| + |2018 - x| ≥ |x + 2000 + 2018 - x| = |4018| = 4018

Dấu " = " xảy ra <=> (x + 2000)(x - 2018) ≥ 0

Th1: \(\hept{\begin{cases}x+2000\ge0\\x-2018\ge0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge-2018\\x\le2018\end{cases}}\Rightarrow-2018\le x\le2018\)

Th2: \(\hept{\begin{cases}x+2000\le0\\x-2018\le0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\le-2018\\x\ge2018\end{cases}}\)(vô lý)

Vậy GTNN của A = 4018 khi -2018 ≤ x ≤ 2018

B3:

a, Vì |x + 1| ≥ 0 ; |2y - 4| ≥ 0

=> |x + 1| + |2y - 4| ≥ 0

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+1=0\\2y-4=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)

Vậy...

b, Vì |x - y + 1| ≥ 0 ; (y - 3)² ≥ 0

 => |x - y + 1| + (y - 3)² ≥ 0 

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y+1=0\\y-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=-1\\y=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3=-1\\y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

Vậy...

c, Vì |x + y| ≥ 0 ; |x - z| ≥ 0  ; |2x - 1| ≥ 0 

=> |x + y| + |x - z| + |2x - 1| ≥ 0 

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x-z=0\\2x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\x=z\\x=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}+y=0\\x=z=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=\frac{-1}{2}\\x=z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

coi lại mới thấy trình bày ngờ-u :)) 

B1: Đk: 5x ≥ 0 => x ≥ 0

=> x + 1 > 0 => |x + 1| = x + 1

=> x + 2 > 0 => |x + 2| = x + 2 

=> x + 3 > 0 => |x + 3| = x + 3 

=> x + 4 > 0 => |x + 4| = x + 4 

Ta có:  |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x

=> .... Làm tiếp như dưới

b/

Ta có \(\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)>0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x-3>0\\x+\frac{1}{2}>0\end{cases}}\)=> \(\orbr{\begin{cases}x>3\\x>\frac{-1}{2}\end{cases}}\)

lx-1l+lyl=0  =>x-1=0 và y=0

lx+1l+ly-yl=2  =>lx+1l+0=2  =>lx+1l=2  =>x+1=2 hoặc x+1=-2  =>x=1 hoặc x=-3

kẻ bảng   

Lời giải:
$x^2+y^2+xy-x+y+1=0$

$\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2xy-2x+2y+2=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2=0$

Vì $(x+y)^2, (x-1)^2, (y+1)^2\ge 0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$

Do đó để tổng của chúng $=0$ thì $(x+y)^2=(x-1)^2=(y+1)^2=0$

$\Leftrightarrow x=1; y=-1$