Lời giải:

Gọi số cần tìm là $a$. Theo đề thì:

$a-3\vdots 70,210,350$

$\Rightarrow a-3\vdots BCNN(70,210,350)$

$\Rightarrow a-3\vdots 1050$

$\Rightarrow a=1050k+3$ với $k$ là số tự nhiên

Vì $a$ có 4 chữ số nên $1050k+3>999$

$\Rightarrow k>0$

Để $a$ nhỏ nhất thì $k$ nhỏ nhất. $\Rightarrow k=1$

Khi đó: $a=1050.1+3=1053$

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abcd ( \(0< a\le9\) , \(0\le b,c,d\le9\) )

 Do số cần tìm khi chia cho 70 , 210 , 350 có cùng số dư là 3 nên

=> ( abcd - 3 )  \(⋮\)  70 , 210 , 350

=> ( abcd -3 ) \(⋮\) ƯCLN( 70 ; 210 ; 350)

70 = 2 . 5 . 7

210 = 2 . 3 . 5 . 7

350 = 2 . \(5^2\) . 7

=> ƯCLN ( 70;210;350) = 2 . 3 . \(5^2\) . 7 = 1050 

=> abcd -3 chia hết 1050

mà abcd là số nhỏ nhất có 4 chữ số 

=> abcd -3 = 1050

=> abcd = 1053

vậy số cần tìm là 1053

 : gọi số đó là x đi. 
x chia 5 dư 3 thì x = 5a + 3 
x chia cho 619 dư 237 thì x = 619b + 237 
=> 5a + 3 = 619b + 237 
=> 5a = 619b + 234 
Ta thấy số 5a tận cùng chắc chắc là 0 hoặc 5, suy ra tận cùng của b là 4 hoặc 9. Mặt khác, x là số có 10 chữ số nhỏ nhất nên ta lấy 1000000000 chia cho 619, được thương là khoảng 1615508 => số này là khoảng ước lượng của b. 
Biết được tận cùng của b là 4 hoặc 9, ta thế chữ 4 và 9 vào chữ số tận cùng của 1615508 và tính. 
Cụ thể thế như sau : 
1615504 x 619 + 237 = 999997213 
1615509 x 619 + 237 = 1000000308 
1615514 x 619 + 237 = 1000003403 
... 
bạn nhận thấy rằng, các số tính được chia 619 đều dư 237 đúng hok nào, mặt khác số x chia 5 dư 3 nên tận cùng phải bằng 3 hoặc 8. Dò trong kết quả trên thấy 1000000308 là nhỏ nhất tận cùng bằng 8 và có 10 chữ số => đáp án là 1000000308. 
 

  Số A chia cho 619 dư 237 nên có dạng A = 619*k + 237 * 
A = 619*k + 237 = 5*(124*k + 47) - (k + 1) + 3 
Do A chia cho 5 dư 3 nên (k + 1) chia hết cho 5 ** 
Do A có 10 chữ số nên từ * ta có 1615509 <= k <= 16155088 
k nhỏ nhất thỏa mãn ** là k = 1615509. 

Số A nhỏ nhất là A = 619*1615509 + 237 = 1000000308 

                             Số cần tìm là 1000000308