\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

Bạn giải thích rõ hơn được không? Mình không hiểu lắm :(((

Giờ bạn cần bài này nữa không 

1.   Đặt A = x²+y²+z²

             B = xy+yz+xz

             C = 1/x + 1/y + 1/z

Lại có (x+y+z)²=9

             A + 2B = 9

  Dễ chứng minh A>=B 

      Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)

Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1 

    C = (x+y+z) /3x  +  (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z

C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x) 

Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2

=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)

P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1

Vậy ...........

Câu 2 chưa ra thông cảm 

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

\(\frac{x^2}{y}+x=2\\\)và\(\frac{y^2}{x}+y=\frac{1}{2}\)

Xét 2 biểu thức trên ta có 

\(\left(\frac{x^2}{y}+x\right).\left(\frac{y^2}{x}+y\right)=\frac{1}{2}.2\)

\(\frac{x^2}{y}.\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}.y+x.\frac{y^2}{x}+x.y=1\)

\(xy+x^2+y^2+xy=1\\\)

\(x^2+2xy+y^2=1\\\)

\(\left(x+y\right)^2=1\)

\(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x+y=-1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x=-y\\x=-1-y\end{cases}}\)

Theo bđt cô si ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) <=> \(1\ge2\sqrt{xy}\)

=> \(\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\) <=> \(\sqrt{\frac{1}{xy}}\ge2\)

Theo bđt cô si : \(P=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{xy}}=2ab\sqrt{\frac{1}{xy}}=2ab.2=4ab\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=4ab khi x=y=1/2

Anh ơi em nghĩ phải lả \(+\frac{1}{x+y+z}\)thì mới đúng ạ

sửa đề \(M=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}+\frac{1}{x+y+z}\)

                                giải

Áp dụng bđt cô si cho 3 số dương \(x,y,z\)ta có:

\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\\y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\\z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2;\frac{y^2+1}{y}\ge2;\frac{z^2+1}{z}\ge2\)(1)

Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:

\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3^2\)

Mà \(x,y,z\)nguyên dương

\(\Rightarrow x+y+z\le3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(2\right)\)

Lấy (1) + (2) ta được:

\(M\ge2+2+2+\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{19}{3}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Lê Tài Bảo Châu Đề bài ko sai.

\(M=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)

Theo ĐL Cool Kid đz luôn có \(\frac{1}{a+b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow M\ge x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow M\ge x+y+z+\frac{8}{9x}+\frac{8}{9y}+\frac{8}{9z}\)

Có BĐT :\(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\Leftrightarrow.......\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\left(true\right)\)

Tương tự cộng vế theo vế thì \(M\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{17}{3}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)

a

Nếu  \(y=0\Rightarrow x^2=3025\Rightarrow x=55\)

Nếu \(y>0\Rightarrow3^y⋮3\)

Mà \(3026\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv2\left(mod3\right)\) 9 vô lý

Vậy.....

b

Không mất tính tổng quát giả sử \(x\ge y\)

Ta có:

\(\frac{1}{2}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{xy}\le\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\frac{y+1}{y^2}\)

\(\Rightarrow y^2\le2y+2\Rightarrow\left(y^2-2y+1\right)\le3\Rightarrow\left(y-1\right)^2\le3\Rightarrow y\le2\Rightarrow y=1;y=2\)

Với \(y=1\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{x}=0\) ( loại )

Với \(y=2\Rightarrow\frac{1}{2x}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=4\)

Vậy x=4;y=2 và các hoán vị

câu a làm cách khác đi bạn