Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: \(\hept{\begin{cases}a,b>0\\a+2b-4c+2=0\\2a-b+7c-11=0\end{cases}}\). Tìm GTLN và GTNN của P=6a+7b+2006c
Xét các số thực x,a,b thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}0< x< \frac{\pi}{2}\\2a^2+b^2=5\end{cases}}\).Tìm GTNN của P= 2asinx+bsin2x
Bài 1: Cho a,b>0 thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a\ge3\\ab\ge6\end{cases}}\). Tìm GTNN của \(S=a^2+b^2\)
Bài 2: Cho x,y,z\(\ge0\)thỏa mãn xy+yz+zx=100.
Tìm GTN của A=xyz
Bài 3: Với giá trị nào của a thì tích xy nhận GTLN nếu x,y,a là các số thực thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}x=a^2\\\frac{1}{y}=a^4+4\end{cases}}\)
bài 2 là tìm giá trị lớn nhất ạ!
ta có A>=0. xét 100=xy+z+xz\(\ge3\sqrt[3]{xy\cdot yz\cdot zx}\)
\(\Rightarrow100\ge3\sqrt[3]{A^2}\Rightarrow\left(\frac{100}{3}\right)^3\ge A^2\Rightarrow A< \frac{100}{3}\sqrt{\frac{100}{3}}\)
dấu đẳng thức xảy ra khi xy=yz=zx
Bài 1 nhìn vô đoán ngay a=3,b=2 -> S=13!
AM-GM:\(\frac{5}{9}\left(a^2+9\right)\ge\frac{10}{3}a;\text{ }\frac{4}{9}\left(a^2+\frac{9}{4}b^2\right)\ge\frac{4}{3}ab\)
\(\rightarrow a^2+b^2+5\ge\frac{10}{3}a+\frac{4}{3}ab\ge\frac{10}{3}\cdot3+\frac{4}{3}\cdot6=18\)
\(\Rightarrow S=a^2+b^2\ge13\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a=3, b=2.
Cho a, b , c ko âm và thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}2a+b+2c=6\\3a+4b-3c=4\end{cases}}\) . Tìm GTLN và GTNT của P = 2a + 3b - 4c
Bạn nào zúp vs ạ !!!
\(\hept{\begin{cases}2a+b+2c=6\\3a+4b-3c=4\end{cases}}\)\(\Rightarrow a+3b-5c=-2\)
\(\Rightarrow3b=-2+5c-a\)\(\Rightarrow3b+2a-4c=-2+5c-a+2a-4c\)
\(\Rightarrow P=-2+a+c\)
Lại có : \(2a+b+2c=6\Rightarrow2\left(a+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow a+c\le3\)
\(\Rightarrow P\le-2+3=1\Rightarrow P\le1\)
Dấu " = " sảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=0\\3a-3c=4\\2a+2c=6\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=0\\3a-3c=4\\3a+3c=9\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{13}{6}\\b=0\\c=\frac{5}{6}\end{cases}}\)
Chị chỉ tìm được Max thui
\(\hept{\begin{cases}2a+b+2c=6\\3a+4b-3c=4\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}b+2c=6-2a\\4b-3c=4-3a\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}c=\frac{20}{11}-\frac{5a}{11}\\b=\frac{26}{11}-\frac{12}{11}a\end{cases}}\)
P = \(2a+3\left(\frac{26}{11}-\frac{12}{11}a\right)-4\left(\frac{20}{11}-\frac{5a}{11}\right)\)
\(=-\frac{2}{11}+\frac{6}{11}a\ge-\frac{2}{11}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = 0 => c =20/11 và b = 26/11
Vậy min P = -2/11 tại a = 0; b = 26/11 và c= 20/11
Cách tìm max khác:
Ta có: \(\hept{\begin{cases}2a+b+2c=6\\3a+4b-3c=4\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}2a+2c=6-b\\3a-3c=4-4b\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}a+c=3-\frac{b}{2}\\a-c=\frac{4}{3}-\frac{4b}{3}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{13}{6}-\frac{11b}{12}\\c=\frac{5}{6}+\frac{5}{12}b\end{cases}}\)
khi đó P = \(2\left(\frac{13}{6}-\frac{11b}{12}\right)+3b-4\left(\frac{5}{6}+\frac{5}{12}b\right)=1-\frac{1}{2}b\le1\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 0 khi đó a = 13/6 và c = 5/6( thỏa mãn)
Vậy maxP = 1 tại a = 13/6 ; b = 0 ; c = 5/6.
Bài 1: \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\ab+bc+ca=5abc\end{cases}CMR:P=\frac{1}{2a+2b+c}+\frac{1}{a+2b+2c}+\frac{1}{2a+b+2c}\le}1\)
Bài 2:\(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=9\end{cases}}\)Tìm GTNN \(P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+2a}}\)
Bài 2:
\(\frac{1}{\sqrt[3]{81}}\cdot P=\frac{1}{\sqrt[3]{9\cdot9\cdot\left(a+2b\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9\cdot9\cdot\left(b+2c\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9\cdot9\cdot\left(c+2a\right)}}\)
\(\ge\frac{3}{a+2b+9+9}+\frac{3}{b+2c+9+9}+\frac{3}{c+2a+9+9}\ge3\left(\frac{9}{3a+3b+3c+54}\right)=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt[3]{3}\)
Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c=3
Bài 1:
\(ab+bc+ca=5abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=5\)
Theo bđt côsi-shaw ta luôn có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\ge\frac{25}{x+y+z+t+k}\)(x=y=z=t=k>0 ) (*)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+t+k\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\right)\ge25\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+y+z+t+k\ge5\sqrt[5]{xyztk}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{xyztk}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z+t+k\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\right)\ge25\)
\(\Rightarrow\)(*) luôn đúng
Từ (*) \(\Rightarrow\frac{1}{25}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\right)\le\frac{1}{x+y+z+t+k}\)
Ta có: \(P=\frac{1}{2a+2b+c}+\frac{1}{a+2b+2c}+\frac{1}{2a+b+2c}\)
Mà \(\frac{1}{2a+2b+c}=\frac{1}{a+a+b+b+c}\le\frac{1}{25}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{1}{a+2b+2c}=\frac{1}{a+b+b+c+c}\le\frac{1}{25}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{1}{2a+b+2c}=\frac{1}{a+a+b+c+c}\le\frac{1}{25}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{25}\left[5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=1\)
\(\Rightarrow P\le1\left(đpcm\right)\)Dấu"="xảy ra khi a=b=c\(=\frac{3}{5}\)
https://olm.vn/thanhvien/ankhunge
Làm sai rồi ạ
Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện:
\(\hept{\begin{cases}\text{a^2( b + c ) + b^2( c + a ) + c^2( a + b ) + 2abc = 0}\\a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1\end{cases}}\)
Cho a,b là 2 số dương và cả 2 phương trình đều có nghiệm:
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+2b=0\\x^2+2bx+a=0\end{cases}}\)
Tìm GTNN của a+b
Cho a,b thỏa mãn hệ phương trình : \(\hept{\begin{cases}a^3+2b^2-4b+3=0\\a^2+a^2b^2-2b=0\end{cases}}\)
Tính a^2 +b^2
ta có : \(a^3+2b^2-4b+3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3=-2\left(b-1\right)^2-1\le-1\Rightarrow a^3\le-1\Rightarrow a^2\ge1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge1\\a^2b^2\ge b^2\end{cases}}\)\(\Rightarrow a^2+a^2b^2-2b\ge1+b^2-2b\Rightarrow\left(b-1\right)^2\le0\)
mà \(\left(b-1\right)^2\)luôn \(\ge0\forall b\in Q\)
dấu ''='' xảy ra <=> \(b-1=0\Rightarrow b=1\)
sau đó em chỉ cần thay b=1 vào pt ban đầu :
rồi => a = ... sau đó lấy a2+b2=...
Cho a và b thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a^3+2b^2-4b+3=0\\a^2+a^2b^2=2b\end{cases}}\)
Tính \(a^{2018}+b^{2019}\)(Đây chỉ là toán lớp 8)
Cho a, b , c thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}0< =a< =b< =1\\2a+b< =2\end{cases}}\). CMR \(2a^2+b^2< =\frac{3}{2}\)