Nếu n  lẻ thì n + 7 là số chẵn, n+ 4 là số lẻ. Tích của số chẵn và số lẻ là 1 số chẵn

Nếu n chẵn thì n + 4 chẵn, n + 7 lể. Tích của số chẵn và số lẻ là 1 số chẵn

Vậy với mọi n thì (n + 4) . (n + 7) là số chẵn

Thử xem có ai giải được không thôi.

n là lẻ

=> n+7 là chẵn => (n+7)(n+4) là chẵn

 n là chẵn thì n+4 là chẵn =>(n+4)(n+7) là chẵn

nhớ

+ Với n =2k  ( n chẵn )  => (n+4)(n+7) = (2k +4)(2k+7) = 2(k+2)(2k+7)  chia hết cho 2

+ n = 2k+1 ( n ; lẻ) => (n+4)(n+7) = (2k +4+1)(2k+1 +7) = (2k +5)(2k+8) = 2(2k+5)(k +4) chia hết cho 2

Vậy (n+4)(n+7) là 1 số chẵn

Ta có n là số tự nhiên nên n có 2 dạng : 2k hoặc 2k+1 (k\(\in\)N)

+Th1: n = 2k

\(\left(n+3\right)\left(n+6\right)=\left(2k+3\right)\left(2k+6\right)=2\left(2k+3\right)\left(k+3\right)⋮2\)

+Th2: n=2k+1

\(\left(n+3\right)\left(n+6\right)=\left(2k+4\right)\left(2k+7\right)=2\left(k+2\right)\left(2k+7\right)⋮2\)

Vậy với\(\forall n\in N\)thì tích (n+3)(n+6) chia hết cho 2

+ n chẵn => n+4 chẵn => (n+4)(n+7) chẵn

+ n lẻ => n+7 chẵn => (n+4)(n+7) chẵn

\(\Rightarrow\left(n+4\right)\left(n+7\right)\) chẵn \(\forall n\)

Bài 1

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n; n+1; n+2. Tổng của chúng là

n+n+1+n+2=3n+3=3(n+1) chia hết cho 3

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n; n+1; n+2; n+3. Tổng của chúng là

n+n+1+n+2+n+3=4n+6=4n+4+2=4(n+1)+2 chia cho 4 dư 2

Bài 2

(Xét tính chẵn hoặc lẻ của n)

+ Nếu n lẻ thì n+3 chẵn; n+6 lẻ => (n+3)(n+6) chẵn => chia hết cho 2

+ Nếu n chẵn thì n+3 lẻ, n+6 chẵn => (n+3)(n+6) chẵn => chia hết cho 2

=> (n+3)(n+6) chia hết cho 2 với mọi n

Vì n là một số tự nhiên nên có 2 trương hợp:

th1:nếu n là số chẵn thì n+4 là một số chẵn nên tích (n+4)(n+7) là số chẵn

th2:nếu n là số lẻ thì n+7 là số một chẵn nên tích (n+4)(n+7) là số chẵn

=>(n+4)(n+7) luôn là số chẵn

* Nếu n lẻ thì n+7 luôn chẵn => (n+4)(n+7) là số chẵn ( vì 1 số chẵn nhân với 1 số lẻ thì kết qả là 1 số chẵn )

* Nếu n chẵn thì n+4 là số chẵn => (n+4)(n+7) là số chẵn ( vì 1 số chẵn nhân vs 1 số chẵn ra kết quả là số chẵn )

Theo mình thì là thế này:

* Xét trường hợp x là số lẻ thì : x+2003 sẽ là số chẵn => (x+2002).(x+2003) là số chẵn

*Xét trường hợp x là số chẵn thì : x+2002 sẽ là số chẵn => (x+2002). (x+2003) là số chẵn

Vậy với mọi số tự nhien x thì tích (x+2002).(x+2003) luôn là số chẵn

* Nếu n lẻ thì n+7 luôn chẵn

=> (n+4)(n+7) là số chẵn ( vì 1 số chẵn nhân với 1 số lẻ thì kết qả là 1 số chẵn )

* Nếu n chẵn thì n+4 là số chẵn

=> (n+4)(n+7) là số chẵn ( vì 1 số chẵn nhân vs 1 số chẵn ra kết quả là số chẵn )

Ta có:

(n+4).(n+7)

=n²+7n+4n+28

= n²+11n+28

Ta có: 2 vế đầu luôn có 2 vế chẵn hoặc 2 vế lẻ

=> Tổng hai vế này là 1 số chẵn

Khi tổng 2 vế này cộng với 28 tức là cộng với 1 số chẵn

=> Số chẵn

Điều phải chứng mình

Nếu n không chia hết cho 2 thì n có dạng 2k+1 (kϵN)

⇒ (n+4).(n+7)=(2k+1+4).(2k+1+7)=(2k+5).(2k+8)⋮2 (vì 2k+8⋮2) (1)

Nếu n chia hết cho 2 thì n có dạng 2k (kϵN)

⇒ (n+4).(n+7)=(2k+4).(2k+7)⋮2 (vì 2k+4⋮2) (2)

Từ (1) và (2)⇒ Với mọi số tự nhiên n thì tích (n+4).(n+7)⋮2 (ĐPCM)

Vì n là số tự nhiên nên n có dạng 2k hoặc 2k + 1 ( k ϵ N )

Nếu n = 2k

⇒ 2k + 4 = 2( k + 2 ) ⋮ 2

Suy ra ( n + 4 )( n + 7 ) ⋮ 2 hay ( n + 4 )( n + 7 ) là số chẵn

Nếu n = 2k + 1

⇒ 2k + 8 = 2( k + 4 ) ⋮ 2

Suy ra ( n + 4 )( n + 7 ) ⋮ 2 hay ( n + 4 )( n + 7 ) là số chẵn

Vậy với mọi số tự nhiên n thì ( n + 4 )( n + 7 ) là số chẵn

Để \(\left(n+4\right).\left(n+7\right)\) là số chẵn

\(\Rightarrow\left(n+4\right)\left(n+7\right)\ge2n\) \(\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow n^2+11n+28-2n\ge0\)

\(\Rightarrow n^2+9n+28\ge0\) 

\(\Rightarrow n^2+9n+\dfrac{81}{4}-\dfrac{81}{4}+28\ge0\)

\(\Rightarrow\left(n-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge0\left(1\right)\)

mà \(\left(n-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{31}{4}>0\) \(\left(\left(n-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge\dfrac{31}{4}\right)\)

⇒ (1) luôn đúng với mọi n ϵ N

⇒ Điều phải chứng minh