\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-d\right)\)

\(=abcd+bd+cd+ab\left(1-c\right)+ad\left(1-b\right)+ac\left(1-d\right)+bc\left(1-d\right)+\left(1-a-b-c-d\right)\)

\(>1-a-b-c-d\)

Nghỉ lâu, giờ vào bài :v

Ta có : a,b,c,d >0

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{b}{b+c+d}>\dfrac{b}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{c}{c+d+a}>\dfrac{c}{c+d+a+b}\)

\(\dfrac{d}{d+a+b}>\dfrac{d}{d+a+b+c}\)

Cộng cả 4 vế , ta được :

\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)Vậy \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}>1\left(1\right)\)

Ta lại có : \(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+c}\)

\(\dfrac{b}{b+c+d}< \dfrac{b}{b+d}\)

\(\dfrac{c}{c+d+a}< \dfrac{c}{c+a}\)

\(\dfrac{d}{d+a+b}< \dfrac{d}{d+b}\)

Cộng 4 vế , ta được :

\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{d}{b+d}=\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{d}{b+d}\right)=\left(\dfrac{a+c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b+d}{b+d}\right)=1+1=2\)

Vậy \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)=> đpcm

Bạn ơi đây là Tiếng Anh mà chứ đâu phải Toán

Áp dụng bất đẳng thức , ta có:
$VT\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\right]\ge {\left(a+b+c+d\right)}^2$
Ta cần chứng minh:
$\begin{array}{c}{\left(a+b+c+d\right)}^2\ge 2\left(ab+bc+cd+da+2ca+2bd\right)\\ \iff a^2+b^2+c^2+d^2\ge 2ca+2bd\\ \iff {\left(a-c\right)}^2+{\left(b-d\right)}^2\ge 0\end{array}$

ngu ngu ngu ngu ngu

Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b

A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d

A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:

A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d

A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d

A < 2

Từ (1) và (2) => đpcm

j vậy bẹn, đây là sinh lớp 7 mak :v ?

mình giải câu 1 còn câu 2 từ từ mình suy nghĩ nhé bạn

Cho a/b=c/d suy ra ad=bc

ta có ad+ac=bc+ac

suy ra a/(a+b)=c/(c+d) nếu ko hiểu thì nhắn tin cho mình bước này nhé

=>đpcm

P/s : 

Đề thiếu rồi bạn ơi : 

~

Áp dụng Côsi:

\(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(a^4\right)^3}=4a^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-1\)

Ta chứng minh: \(a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)

Theo Côsi: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+2.4\ge3\left(a+b+c+d\right)=3.4\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-4\ge3\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^3+b^3+c^3+d^3\)