2. 

Gọi x;x+1;x+2;x+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp ( x\(\in\) N)

 Ta có : x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 

 =(  x² + 3x ) (x² + 2x + x +2 )  +1 

= (  x² + 3x ) (x² +3x + 2 ) +1  (*)

Đặt t = x² + 3x  thì  (* ) =  t ( t+2 ) + 1=  t² + 2t +1  =  (t+1)²  = (x² + 3x + 1 )²

=>  x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1  là số chính phương 

hay tích 4 số tự nhiên liên tiếp  cộng  1 là số chính phương 

Khoảng cách giữa 2 số lẻ liên tiếp là 2

Số lẻ đầu tiên là 1 thì số lẻ thứ n là:

             \(1+\left(n-1\right).2=2n-1\)

Khi đó: tổng n STN lẻ liên tiếp kể từ 1 là:

      \(1+3+5+...+\left(2n-1\right)\)

\(=\left(1+2n-1\right).n:2\)

\(=2n^2:2=n^2\)

Vậy tổng của n STN lẻ liên tiếp là số chính phương.

Chúc em học tốt.

gọi 5 số tự nhiên đó lần lượt là n-2;n-1;n;n+1;n+2

Ta có:

(*) (n-2)²=n(n-2)-2(n-2)=n²-4n+4 (1)

(*)(n-1)²=n(n-1)-1(n-1)=n²-2n+1  (2)

(*)n²=n²                                    (3)

(*)(n+1)²=n(n+1)+1(n+1)=n²+2n+1(4)

(*)(n+2)²=n(n+2)+2(n+2)=n²+4n+4  (5)

Cộng liên tiếp (1);(2);(3);(4);(5)

pt<=>n²-4n+4+n²-2n+1+n²+n²+2n+1+n²+4n+4

=(n²+n²+n²+n²+n²)+(-4n-2n+2n+4n)+(4+1+1+4)

=5n²+10=5(n²+2) chia hết cho 5 nhưng ko chia hết cho 25

=>n²+n ko chia hết cho 5

=>đpcm

ta có: n^2 + (n-1)^2 +(n+1)^2 +(n-2)^2 +(n+2)^2 
= n^2 + n^2 - 2n +1+ n^2 +2n+1 +n^2 - 4n+4+ n^2 +4n+4 
= 5n^2 +10 không phải số chính phương 

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là a-1;a;a+1;a+2

Theo đề ra ta có

\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1=\left[a\left(a+1\right)\right]\left[\left(a-1\right)\left(a+2\right)\right]+1\)

\(=\left(a^2+a\right)\left(a^2+a-2\right)+1\)

Đặt \(a^2+a-1=x\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1=x^2-1+1=x^2\)là số chính phương 

Vậy ...

a+(a+1(+(a+2(+(a+3) +1 = 4a+7 

với a =5 => 4.5 + 7 =27 không là số chính phương

=> đề sai

đơn giản thế này thôi:

Tổng bình phương của 5 STN liên tiếp chia 5 dư 4 không là SCP.