tính giá trị biểu thức \(\frac{3x^2-2xy-4y^2}{4x^2-xy-y^2}\)nếu \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{26}{5}\)
tính A=\(\frac{3x^2-2xy-4y^2}{4x^2-xy-y^2}\)biết \(\frac{x}{y}\)+\(\frac{y}{x}\)=\(\frac{26}{5}\)
Cho \(x,y,z\ne0\)và đôi một khác nhau thỏa mãn \(\frac{21}{4x}+\frac{21}{4y}+\frac{21}{4z}=0\)
Tính giá trị của biểu thức \(\frac{yz}{x^2+yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}\)
Ta có 1/x+1/y+1/z=0
=>1/x+1/y=-1/z
=>(1/x+1/y)^3= (-1/z)^3
=>1/x^3+1/y^3+3.1/x.1/y.(1/x+1/y) =-1/z^3
=>1/x^3+1/y^3+1/z^3= -3.1/x.1/y.(1/x+1/y) =3/(xyz) (vì 1/x+1/y=-1/z)
Mặt khác: 1/x+1/y+1/z=0
=>(xy+yz+zx)/(xyz)=0
=>xy+yz+zx=0
A=yz/x^2 +2yz + xz/y^2+ 2xz + xy/z^2+ 2 xy
=xyz/x^3+xyz/y^3+xyz/z^3 +2(xy+yz+zx) (vì x,y,z khác 0)
=xyz(1/x^3+1/y^3+1/z^3) (vì xy+yz+zx=0)
=xyz.3/(xyz) (vì 1/x^3+1/y^3+1/z^3=3/(xyz) )
=3
Vậy A=3.
CMR: giá trị biểu thức A luôn không âm với mọi x,y khác 0
\(A=\left(75x^5y^2-45x^4y^3\right):\left(3x^3-y^2\right)-\left(\frac{5}{2}x^2y^4-2xy^5\right):\frac{1}{2}xy^3\)
1.Tính giá trị của biểu thức : \(A=x^2+\left(-2xy\right)-\frac{1}{3}y^3\)với \(\text{|}x\text{|}=5;y=1\)
2.Cho \(x-y=9\), Tính giá trị biểu thức \(B=\frac{4x-9}{3x+y}-\frac{4y+9}{3y+x}\)( x khác -3y ; y khác -3x)
trình bày cách làm nữa nha
1.Tính giá trị của biểu thức : \(A=x^2+\left(-2xy\right)-\frac{1}{3}y^3\)với |x|=5;y=1
2.Cho x−y=9, Tính giá trị biểu thức \(B=\frac{4x-9}{3x+y}-\frac{4y+9}{3y+x}\) ( x khác -3y ; y khác -3x)
trình bày cách làm nữa nha
a, Cho x,y,z đôi một khác nhau và \(\frac{21}{4x}+\frac{21}{4y}+\frac{21}{4z}=0\)
Tính giá trị biểu thức: P= \(\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}\)
b, Giải phương trình: \(\frac{x3}{3}+\frac{48}{x^2}=10\left(\frac{x}{3}-\frac{4}{x}\right)\)
1. a. Tìm x,y,z biết x2+4y2= 2xy +1 và z2=2xy -1
b. cho x+y+z=1 và\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)Tính Giá trị biểu thức B= x2+y2+z2
2. Cho x,y khác 0 thỏa mãn x+y=xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A=\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
Bài \(1a.\) Tìm \(x,y,z\) biết \(x^2+4y^2=2xy+1\) \(\left(1\right)\) và \(z^2=2xy-1\) \(\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(x^2+4y^2+z^2=4xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-4xy+4y^2+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2y\right)^2+z^2=0\)
Do \(\left(x-2y\right)^2\ge0\) và \(z^2\ge0\) với mọi \(x,y,z\)
nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra \(\left(x-2y\right)^2=0\) và \(z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(^{x-2y=0}_{z^2=0}\) \(\Leftrightarrow\) \(^{x=2y}_{z=0}\)
Từ \(\left(2\right)\), với chú ý rằng \(x=2y\) và \(z=0\), ta suy ra:
\(2xy-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(2.\left(2y\right).y-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(4y^2-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(y^2=\frac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow\) \(y=\frac{1}{2}\) hoặc \(y=-\frac{1}{2}\)
\(\text{*)}\) Với \(y=\frac{1}{2}\) kết hợp với \(z=0\) \(\left(cmt\right)\) thì \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(2.x.\frac{1}{2}-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
\(\text{*)}\) Tương tự với trường hợp \(y=-\frac{1}{2}\), ta cũng dễ dàng suy ra được \(x=-1\)
Vậy, các cặp số \(x,y,z\) cần tìm là \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}\)
\(b.\) Vì \(x+y+z=1\) nên \(\left(x+y+z\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1\) \(\left(3\right)\)
Mặt khác, ta lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) \(\Rightarrow\) \(xy+yz+xz=0\) \(\left(4\right)\) (do \(xyz\ne0\))
Do đó, từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2+z^2=1\)
Vậy, \(B=1\)
Ta có:
\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(xy\right)^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}\) (do \(x+y=xy\)) \(\left(5\right)\)
Dễ dàng chứng minh được với mọi \(x,y\in R\), ta luôn có:
\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số \(\left(1^2+1^2\right)\) và \(\left(x^2+y^2\right)\), ta được:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(1.x+1.y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)
Do đó, \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\), hay \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\) \(\left(đpcm\right)\)
Vậy, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) hiển nhiên đúng với mọi \(x,y\in R\), tức bđt \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh.
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y\)
Khi đó, từ \(\left(\text{*}\right)\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}\) (do hai vế của bđt \(\left(\text{*}\right)\) cùng dấu \(\left(+\right)\))
nên \(\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{x^2+y^2}{2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{1}{2}\) (vì \(x^2+y^2>0\) với mọi \(x,y\in R\) và \(x,y\ne0\)) \(\left(6\right)\)
\(\left(5\right);\) \(\left(6\right)\) \(\Rightarrow\) \(A\ge\frac{1}{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(^{x+y=xy}_{x=y}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=2\)
Vậy, GTNN của \(A=\frac{1}{2}\)
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại \(x=\frac{1}{2};y=\frac{1}{3}\)
\(A=\left(\frac{4}{x-y}-\frac{x-y}{y^2}\right).\frac{y^2-xy}{x-3y}+\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2-xy}{x-2y}\right):\frac{xy+y^2}{2x-4y}\)
\(A=\left(\frac{4}{x-y}-\frac{x-y}{y^2}\right).\frac{y^2-xy}{x-3y}+\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2-xy}{x-2y}\right):\frac{xy+y^2}{2x-4y}\)
\(=\frac{4y^2-\left(x-y\right)^2}{y^2\left(x-y\right)}.\frac{y^2-xy}{x-3y}+\frac{x\left(x-2y\right)-2\left(x^2-xy\right)}{2\left(x-2y\right)}.\frac{2x-4y}{xy+y^2}\)
\(=\frac{3y^2+2xy-x^2}{y^2\left(x-y\right)}.\frac{y^2-xy}{x-3y}+\frac{-x^2}{2\left(x-2y\right)}.\frac{2x-4y}{xy+y^2}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(3y-x\right)}{y^2\left(x-y\right)}.\frac{y\left(y-x\right)}{x-3y}-\frac{x^2}{2\left(x-2y\right)}.\frac{2\left(x-2y\right)}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)}{y}-\frac{x^2}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2-x^2}{y\left(x+y\right)}=\frac{2xy+y^2}{y\left(x+y\right)}=\frac{2x+y}{x+y}\)
Giờ chỉ cần thế x, y vô nữa là xong nhé.
\(A=\left(\frac{4}{x-y}-\frac{x-y}{y^2}\right).\frac{y^2-xy}{x-3y}\)\(+\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2-xy}{x-2y}\right):\frac{xy+y^2}{2x-4y}\)
\(=\left(\frac{4}{x-y}-\frac{x-y}{y^2}\right).\frac{y\left(y-x\right)}{x-3y}\)\(+\left(\frac{x}{2}-\frac{x\left(x-y\right)}{x-2y}\right):\frac{y\left(x+y\right)}{2\left(x-2y\right)}\)
\(=\frac{4y\left(y-x\right)}{\left(x-y\right)\left(x-3y\right)}-\frac{\left(x-y\right)y\left(y-x\right)}{y^2\left(x-3y\right)}\)\(+\frac{x.2\left(x-2y\right)}{2.y\left(x+y\right)}-\frac{x\left(x-y\right).2\left(x-2y\right)}{\left(x-2y\right).y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{-4y}{x-3y}+\frac{\left(x-y\right)^2}{y\left(x-3y\right)}+\frac{x\left(x-2y\right)}{y\left(x+y\right)}-\frac{2x\left(x-y\right)}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{-4y^2+x^2-2xy+y^2}{y\left(x-3y\right)}+\frac{x^2-2xy-2x^2+2xy}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{x^2-2xy-3y^2}{y\left(x-3y\right)}+\frac{-x^2}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{x^2+xy-3xy-3y^2}{y\left(x-3y\right)}-\frac{x^2}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{x\left(x+y\right)-3y\left(x+y\right)}{y\left(x-3y\right)}-\frac{x^2}{y\left(x+y\right)}\)
\(\frac{\left(x+y\right)\left(x-3y\right)}{y\left(x-3y\right)}-\frac{x^2}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{x+y}{y}-\frac{x^2}{y\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2-x^2}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{x^2-2xy+y^2-x^2}{y\left(x+y\right)}=\frac{-2xy+y^2}{y\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{y\left(y-2x\right)}{y\left(x+y\right)}=\frac{y-2x}{x+y}\)
Thay \(x=\frac{1}{2};y=\frac{1}{3}\)vào A ta có :
\(A=\frac{\frac{1}{3}-2.\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}=\frac{2}{3}:\frac{5}{6}=\frac{2.6}{3.5}=\frac{4}{5}\)
Vậy \(A=\frac{4}{5}\)tại \(x=\frac{1}{2};y=\frac{1}{3}\)
Ừ nhở chị sai từ chỗ \(\frac{\left(x+y\right)^2-x^2}{y\left(x+y\right)}=\frac{x^2+2xy+y^2-x^2}{y\left(x+y\right)}=\frac{y^2+2xy}{y\left(x+y\right)}\)em nhé
Cho biểu thức:
\(P=\left(\frac{x^2}{x^2-y^2}+\frac{y}{x-y}\right):\frac{x^3-y^3}{x^5-x^4y-xy^4+y^5}\) (với x\(\ne+-\)y).Giá trị của biểu thức P khi x+y=5 và xy=\(-\frac{1}{2}\)
Ta có \(P=\frac{x^2+y\left(x+y\right)}{x^2-y^2}:\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)}\)
\(=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-y^2}:\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)}\)\(=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-y^2}:\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)
\(=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-y^2}.\frac{\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}\)\(=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)
Thay \(x+y=5;xy=-\frac{1}{2}\Rightarrow P=5^2-2.\left(-\frac{1}{2}\right)=26\)
Vậy P=26