1,với 19 số tự nhiên liên tiếp bất kì,có hay không 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 10

2,chứng minh (n+1)(n+2)...2n chia hết cho 2ⁿ. tìm thương của phép chia

3,cho a,b thuộc N sao cho a²+b² chia hết cho ab. Tính A= \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)

4,có hay không số tự nhiên n để 5ⁿ+1 chia hết cho 7¹⁹⁹⁵

5,Chứng minh răng tồn tại các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đẳng thức:x^x+y^y=z^p,với p là 1 số nguyên tố lẻ

6,cho N là số chẵn không chia hết cho 10.hãy tìm:

a,2 chữ số tận cùng của N²⁰

b,3 chữ số tận cùng của N²⁰⁰

7,số dư của phép chia \(14^{14^{14^{14}}}:100000\)

8.có hay không số tự nhiên k sao cho 2003^k có chữ số tận cùng là 0001

1, n.(n+1) . (n+2) . (n+3) chia hết cho 3 và 8

2,

 a) Có tồn tại số tự nhiên n để n2 + n + 2 chia hết cho 5 hay không?

b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n vừa là tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp, vừa là tổng của 7 số tự nhiên liên tiếp

3,

Tìm số nguyên x, biết:

a) 2x - 1 là bội số của x - 3

b) 2x + 1 là ước của 3x + 2

c) (x - 4).(x + 2) + 6 không là bội của 9

d) 9 không là ước của (x - 2).(x + 5) + 11

4,

Tìm số nguyên a, b, sao cho:

a) (2a - 1).(b2 + 1) = -17

b) (3 - a).(5 - b) = 2

c) ab = 18, a + b = 11

5,

Tìm số nguyên x, sao cho:

a) A = x2 + 2021 đạt giá trị nhỏ nhất

b) B = 2022 - 20x20 - 22x22 đạt giá trị lớn nhất.

1.Tổng của hai số tự nhiên gấp 3 lần hiệu của chúng .Tìm thương của hai số tự nhiên đó

2.Khi chia số tự nhiên a cho 54 ta được số dư 38.Chia số a cho 18 ta được thương 14 và còn dư .Tìm số a

3.a)Có ba số tự nhiên nào mà tổng của chúng tận cùng bằng 4 ,tích của chúng tận cùng bằng 1 hay không?

b)Có tồn tại hay không 4 số tự nhiên mà tổng và tích của chúng đều là số lẻ?

Dùng nguyên lí Dirichle để giải các bài tập sau:

1) Viết 20 số tự nhiên vào 20 tấm bìa. CMR: Ta có thể chọn 1 hay nhiều tấm bìa để tổng các số đó chia hết cho 20

2) CMR: tồn tại 1 số tự nhiên chia hết cho 17

a) Gồm toàn chữ số 1 và chữ số 0

b) Gồm toàn chữ số 1

3) CMR: Tồn tại số tự nhiên k để 3^k có 3 chữ số tận cùng là 001

4) CHo 51 số tự nhiên khác 0 và không vượt quá 100. CMR:

a) Mỗi số đều viết được 2^k.b(k;b thuộc N, b lẻ, k có thể = 0). Xác định khoảng giá trị của k và b

b) Tồn tại 2 số mà số này là bội của số kia